D. Pembuktian Pernyataan Matematis Keterbagian

Pernyataan "a habis dibagi b" ekuivalen dengan :

a kelipatan b.

b faktor dari a.

b membagi a.

C. Pembuktian Pernyataan Matematis Ketidaksamaan

Sifat Transitif

a > b > c → a > c atau a < b < c → a < c.

Prinsip Ketidaksamaan

a > b dan c > 0 → ac > bc atau a < b dan c > 0 → ac < bc.

a > b → a + c > b + c atau a < b → a + c < b + c.

CONTOH :

Buktikan bahwa 4n ≤ 2ⁿ untuk semua bilangan asli n ≥ 5!

Langkah 1
4n < 2ⁿ ; n ≥ 5
substitusi n = 5
4(5) < 2⁵
20 < 32 (benar)

Langkah 2
4n < 2ⁿ
substitusi n = k
4k < 2^k (asumsikan benar)

Langkah 3
4n < 2ⁿ
substitusi n = k + 1
4(k + 1) < 2^k+1
4k + 4 < 2^k + 2¹
lihat ruas kiri
4k + 4 < 2^k + 4 (berdasarkan sifat transitif a < b → a + c < b + c)
4k + 4 < 2^k + 4 < 2^k + 2¹ (berdasarkan sifat transitif a < b < c → a < c)
4k + 4 < 2^k + 2¹
4(k + 1) < 2^k+1 (terbukti)

Kesimpulan :
Jadi, 4n ≤ 2ⁿ terbukti benar untuk semua bilangan asli n ≥ 5! Kembali ke Menu Sebelumnya

B. Pembuktian Pernyataan Matematis Berupa Barisan

CONTOH

Misalkan kita akan menjumlahkan bilangan ganjil sebagai berikut :

1 + 3 + 5 + ... + 2n - 1 = n²

Buktikan bahwa untuk jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n²

Langkah 1
1 + 3 + 5 + ... + 2n - 1 = n²
substitusi n = 1
2n - 1 = n²
2(1) - 1 = 1²
1 = 1 (benar)

Langkah 2
Asumsikan benar untuk n = k
substitusi n = k
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k² (benar)

Langkah 3
substitusi n = k + 1
1 + 3 + 5 + ... + 2k - 1 + 2(k + 1) - 1 = (k + 1)²
1 + 3 + 5 + ... + 2k - 1 + 2(k + 1) - 1 = (k + 1)²
k²+ 2(k + 1) - 1 = (k + 1)²
k² + 2k + 2 - 1 = (k + 1)²
k² + 2k + 1 = (k + 1)²
(k + 1)² = (k + 1)² (terbukti)

Kesimpulan :
Jadi, 1 + 3 + 5 + ... + 2n - 1 = n² benar untuk jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n² karena memenuhi kedua langkah pembuktian. Kembali ke Menu Sebelumnya

“Matematika adalah bahasa di mana Tuhan menulis alam semesta.” – Galileo Galilei

“Segala sesuatu harus dibuat sesederhana mungkin, tetapi tidak lebih sederhana.” – Albert Einstein

“Tanpa matematika, tidak ada yang bisa kamu lakukan. Segalanya di sekitarmu adalah matematika.” – Shakuntala Devi

“Logika akan membawamu dari A ke B. Imajinasi akan membawamu ke mana saja.” – Albert Einstein

A. Pengantar Induksi Matematika

Perlu kita ingat bahwa yang namanya belajar akan menjadi maksimal apabila kita menguasai konsepnya. Nah salah satu cara melatih pemahaman konsep suatu materi adalah dengan membuktikan rumus. Singkatnya sih, dengan membuktikan rumus, kita dituntut untuk memahami beberapa konsep sekaligus.

Nah kali ini kita akan belajar memahami salah satu cara membuktikan rumus, yaitu dengan Induksi Matematika.

Induksi Matematika hanya bisa digunakan untuk setiap model matematika berupa persamaan atau pertidaksamaan yang variabel acaknya merupakan Bilangan Asli. Artinya kamu tidak bisa menggunakan Induksi Matematika pada model matematika baik berupa persamaan atau pertidaksamaan yang variabel acaknya BUKAN Bilangan Asli.

Apa sih Induksi Matematika itu?

Induksi Matematika merupakan salah satu cara pembuktian rumus atau pernyataan matematika, atau lebih tepatnya metode pembuktian terhadap suatu pernyataan apakah pernyataan tersebut berlaku untuk setiap kasus.

ILUSTRASI

Misalkan kita akan menjumlahkan 200 bilangan asli yang pertama berikut :

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 199 + 200 = ...

Untuk mempermudah perhitungan, perhatikan pola berikut :

Jumlah satu suku S1	=	1	=	\( \frac{1 . 2}{2} \)
Jumlah dua suku S2	=	1 + 2 = 3	=	\( \frac{2 . 3}{2} \)
Jumlah tiga suku S3	=	1 + 2 + 3 = 6	=	\( \frac{3 . 4}{2} \)
Jumlah empat suku S4	=	1 + 2 + 3 + 4 = 10	=	\( \frac{4 . 5}{2} \)

Dari informasi di atas, diketahui bahwa untuk menghitung jumlah deret tersebut untuk n bilangan asli berapapun ternyata sudah ada rumusnya. Jadi, kita ngga perlu repot-repot menjumlahkan satu per satu seperti diatas. Tinggal kita masukkan saja nilai n ke dalam rumus tersebut.

BAGAIMANA RUMUSNYA?

Untuk deret di atas, rumusnya adalah sebagai berikut :

S_n = \( \frac{n (n + 1)}{2} \)

Bisa juga ditulis seperti ini :

1 + 2 + 3 + ... + n = \( \frac{n (n + 1)}{2} \)

“Sebagai matematikawan yang baik, sebaiknya kita harus curiga, tahu dari mana kalau rumus itu benar? Tahu dari mana bahwa rumus itu berlaku untuk nilai n bilangan asli? Bagaimana Membuktikannya?

Dalam matematika, proses dari pengembangan pola sampai pengambilan kesimpulan dari ilustrasi tadi, tidak dapat dianggap sebagai bukti untuk rumus

S_n = \( \frac{n (n + 1)}{2} \)

Oleh karena itu, kita memerlukan suatu bukti formal bahwa kesimpulan tersebut benar untuk setiap bilangan asli n.

“Itulah sebabnya mengapa kita harus mempelajari INDUKSI MATEMATIKA"

B. Konsep Induksi Matematika

Dengan menggunakan Induksi Matematika, kita bisa membuktikan rumus S_n tadi tanpa perlu menghitung satu persatu. Caranya Easy Buaaangeeet, kita hanya butuh melakukan verifikasi tiga langkah yaitu sebagai berikut :

1. Tunjukkan bahwa rumus S_n benar untuk n = 1 atau S₁ benar.
2. Asumsikan bahwa rumus S_n benar untuk n = k, maka :
3. Tunjukkan bahwa rumus S_n juga benar untuk n = k + 1, S_k benar → S_k+1 juga benar.

Dua langkah itu bisa membuktikan bahwa S_n BENAR untuk semua n bilangan asli?

Loh kok bisa?

Kamu pasti tahu, atau pernah main domino kan ya?
Apa hubungan antara Domino dan Induksi Matematika?
Coba kita lihat ketiga langkah itu satu per satu ya...

Langkah 1
Buktikan bahwa S_n benar untuk n = 1!
Langkah pertama ini gampang banget, tinggal kita gantikan n dengan 1 ke dalam persamaan lalu kita hitung deretnya.
1 + 2 + 3 + ... + n = \( \frac{n (n + 1)}{2} \)
1 + 2 + 3 + ... + n = \( \frac{n (n + 1)}{2} \)
substitusi n = 1
n = \( \frac{n (n + 1)}{2} \)
1 = \( \frac{1 (1 + 1)}{2} \)
1 = \( \frac{1 (2)}{2} \)
1 = \( \frac{2}{2} \)
1 = 1 (benar)

Langkah 2
Asumsikan bahwa n = k adalah benar!
substitusi n = k
1 + 2 + 3 + ... + n = \( \frac{n (n + 1)}{2} \)

1 + 2 + 3 + ... + k = \( \frac{k (k + 1)}{2} \) (benar)

Langkah 3
Buktikan bahwa n = k + 1 benar!
substitusi n = k + 1
1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \( \frac{(k + 1) ((k + 1) + 1)}{2} \)

1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \( \frac{(k + 1) ((k + 1) + 1)}{2} \)

\( \frac{k (k + 1)}{2} \)+ (k + 1) = \( \frac{(k + 1) ((k + 1) + 1)}{2} \)

\( \frac{k (k + 1)+ 2(k + 1)}{2} \) = \( \frac{(k + 1) (k + 2)}{2} \)

\( \frac{k^2 + k + 2k + 2}{2} \) = \( \frac{(k + 1) (k + 2)}{2} \)

\( \frac{k^2 + 3k + 2}{2} \) = \( \frac{(k + 1) (k + 2)}{2} \)

\( \frac{(k + 1) (k + 2)}{2} \) = \( \frac{(k + 1) (k + 2)}{2} \) (terbukti)

Kembali ke Menu Sebelumnya

A. Limit Fungsi di Suatu Titik

Limit fungsi f(x) di suatu titik x = a adalah nilai yang didekati oleh f(x) untuk x mendekati a dan x ≠ a. Jika x mendekati a maka f(x) mendekati L, ditulis:

lim_x→a f(x) = L

Ilustrasi Grafik Limit

Perhatikan grafik berikut untuk memahami bagaimana limit bekerja saat x mendekati 2:

Langkah-langkah menentukan limit fungsi:

1. Faktorkan pembilang dan penyebut dari f(x), lalu sederhanakan.
2. Jika belum bisa disederhanakan, kalikan f(x) dengan sekawan dari penyebut, lalu sederhanakan.

Contoh:
Tentukan:

lim_x→3 (x² − 9) / (x − 3)

Faktorkan:

= lim_x→3 (x − 3)(x + 3) / (x − 3)

Sederhanakan:

= lim_x→3 x + 3

Substitusi :

= 3 + 3 = 6

B. Sifat-Sifat Limit Fungsi

Misalkan k bilangan bulat positif, f dan g fungsi yang memiliki limit di x = c, maka:

1. lim_x→c k = k
2. lim_x→c x = c
3. lim_x→c k·f(x) = k·lim_x→c f(x)
4. lim_x→c [f(x) + g(x)] = lim_x→c f(x) + lim_x→c g(x)
5. lim_x→c [f(x) − g(x)] = lim_x→c f(x) − lim_x→c g(x)
6. lim_x→c [f(x) · g(x)] = lim_x→c f(x) · lim_x→c g(x)
7. lim_x→c f(x)/g(x) = lim_x→c f(x) / lim_x→c g(x), dengan lim_x→c g(x) ≠ 0
8. lim_x→c [f(x)]ⁿ = [lim_x→c f(x)]ⁿ
9. lim_x→c ^{n _{√f(x) =} n _{√limx→c f(x)}}

Video Penjelasan Singkat

Simak video berikut untuk memahami konsep limit lebih lanjut:

Kembali ke Menu Sebelumnya

Kumpulan Rumus Bangun Ruang 3D

Kubus

Luas = 6 × r × r
Volume = r × r × r
r: panjang rusuk

Balok

Luas = 2 × (p×l + p×t + l×t)
Volume = p × l × t
p: panjang, l: lebar, t: tinggi

Prisma

Luas = 2 × La + Ka × t
Volume = La × t
La: luas alas, Ka: keliling alas, t: tinggi

Limas

Luas = La + Total Luas Sisi Miring
Volume = ⅓ × La × t
a: alas, La: luas alas, t: tinggi

Tabung

Luas = 2 × π × r × (t + r)
Volume = π × r × r × t
r: jari-jari, t: tinggi

Kerucut

Luas = π × r × (r + s)
Volume = ⅓ × π × r × r × t
r: jari-jari, s: garis pelukis, t: tinggi

Bola

Luas = 4 × π × r × r
Volume = 4/3 × π × r × r × r
r: jari-jari

Kembali ke Menu Sebelumnya

Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang pada Bangun Ruang

1. Kedudukan Titik terhadap Garis

a. Titik Terletak pada Garis
Titik A dikatakan terletak pada garis g jika garis g melalui titik A.

b. Titik Terletak di Luar Garis
Titik A dikatakan terletak di luar garis g jika garis g tidak melalui titik A.

2. Kedudukan Titik terhadap Bidang

a. Titik Terletak pada Bidang
Titik P dikatakan terletak pada bidang α jika bidang α melalui titik P.

b. Titik Terletak di Luar Bidang
Titik P dikatakan terletak di luar bidang α jika bidang α tidak melalui titik P.

3. Kedudukan Dua Garis

a. Berpotongan
Garis g dan h yang terletak pada sebuah bidang dikatakan berpotongan jika kedua garis tersebut memiliki tepat satu titik persekutuan.

b. Berimpit
Jika setiap titik pada garis g terletak pada garis h maka dikatakan g berimpit dengan garis h. Dengan kata lain, dua garis tersebut memiliki paling sedikit dua titik persekutuan (A dan B).

c. Sejajar
Garis g dan h yang terletak pada sebuah bidang dikatakan sejajar (ditulis : g // h jika kedua garis tersebut tidak memiliki titik persekutuan.

d. Bersilangan
Jika garis g dan h tidak memiliki titik persekutuan, tidak sejajar dan tidak terletak pada satu bidang maka garis g dan h dikatakan bersilangan.

4. Kedudukan Garis terhadap Bidang

a. Berimpit
Suatu garis dikatakan berimpit dengan bidang jika setiap titik pada garis juga terletak pada bidang.

b. Sejajar
Garis dikatakan sejajar dengan bidang α karena garis dan bidang tersebut tidak memiliki titik persekutuan.

c. Berpotongan
Garis dan bidang dikatakan berpotongan jika memiliki tepat satu titik persekutuan.

5. Kedudukan Dua Bidang

a. Berimpit
Dua bidang disebut berimpit apabila semua titik dari kedua bidang tersebut berimpit.

b. Sejajar
Dua bidang disebut sejajar apabila semua titik dan garis-garis pada salah satu bidang tidak memiliki titik persekutuan dengan bidang lainnya.

c. Berpotongan
Dua bidang disebut berpotongan apabila memiliki satu garis potong.

Kembali ke Menu Sebelumnya

David Hilbert: Matematikawan Jenius dari Jerman yang Mengubah Wajah Matematika

David Hilbert (1862–1943) adalah salah satu matematikawan terbesar dalam sejarah, yang kontribusinya telah membentuk banyak cabang dalam matematika modern. Lahir di Königsberg, Jerman (sekarang Kaliningrad, Rusia), Hilbert dikenal karena pemikirannya yang mendalam, pendekatannya yang sistematis, dan ambisinya untuk menciptakan dasar yang kokoh bagi seluruh bidang matematika.

Awal Kehidupan dan Pendidikan

David Hilbert lahir pada 23 Januari 1862. Ia menempuh pendidikan tinggi di Universitas Königsberg, tempat ia menunjukkan minat luar biasa pada matematika. Di sana, ia berinteraksi dengan matematikawan ternama lainnya, seperti Ferdinand von Lindemann, yang membimbingnya selama studi doktoralnya.

Kontribusi dalam Matematika

Hilbert memberikan kontribusi penting dalam berbagai bidang matematika, termasuk:

1. Teori Invariansi dan Aritmetika

Pada awal kariernya, Hilbert menulis karya besar tentang teori invarian. Ia berhasil menunjukkan bahwa teori invarian dapat diselesaikan dengan metode sistematis, yang kemudian dikenal sebagai Teorema Dasar Hilbert.

2. Geometri

Pada tahun 1899, Hilbert menerbitkan Grundlagen der Geometrie (Dasar-Dasar Geometri), di mana ia menyusun 20 aksioma yang lebih lengkap dan logis untuk mendefinisikan ruang geometri.

3. Teori Bilangan dan Analisis

Hilbert juga berkontribusi dalam teori bilangan dan analisis matematika, termasuk dalam persamaan diferensial dan integral, yang kelak melahirkan cabang analisis fungsional.

4. Ruang Hilbert (Hilbert Space)

Konsep ruang Hilbert menjadi fundamental dalam fisika kuantum dan analisis fungsional. Ini adalah salah satu pencapaian penting Hilbert dalam membangun jembatan antara matematika dan fisika.

5. 23 Masalah Hilbert

Pada tahun 1900, dalam Kongres Matematika Internasional di Paris, Hilbert mempresentasikan 23 masalah terbuka dalam matematika. Masalah-masalah ini menjadi pendorong utama bagi perkembangan matematika sepanjang abad ke-20.

Filsafat Matematika dan Program Hilbert

Hilbert mengembangkan Program Hilbert, yakni usaha untuk membuktikan bahwa semua matematika dapat dibangun dari sistem aksioma yang konsisten dan logis. Namun, program ini terguncang setelah Kurt Gödel membuktikan teorema ketidaklengkapan-nya pada tahun 1931, yang menyatakan bahwa tidak semua kebenaran matematika dapat dibuktikan dalam sistem formal.

Warisan dan Pengaruh

Meski tidak semua tujuannya tercapai, warisan Hilbert tetap besar. Pendekatan aksiomatik dan formal yang ia usung kini menjadi standar dalam penyusunan teori matematika.

“Wir müssen wissen — wir werden wissen.”
“Kita harus tahu — kita akan tahu.”

Akhir Hayat

David Hilbert meninggal pada 14 Februari 1943 di Göttingen, Jerman. Meskipun masa tuanya diwarnai oleh gejolak politik dan perang, pemikiran dan kontribusinya tetap hidup hingga kini dalam dunia matematika dan sains.

Kesimpulan

David Hilbert adalah tokoh sentral dalam transformasi matematika modern. Dengan kontribusinya dalam geometri, logika, dan teori bilangan, ia membuktikan bahwa matematika bukan sekadar angka, tetapi merupakan dasar pemikiran manusia yang rasional dan mendalam.

A. Definisi Turunan Fungsi

Apabila fungsi f(x) mempunyai turunan untuk setiap x anggota domain D, dengan D ∈ bilangan real, maka turunan fungsi dari f(x) adalah f′(x) yang dirumuskan sebagai berikut:

f′(x) = lim_{h → 0} [f(x + h) - f(x)] / h

Contoh:

Tentukan turunan dari f(x) = x².

Penyelesaian:

f′(x) = lim_h→0 [(x + h)² - x²] / h
= lim_h→0 [x² + 2xh + h² - x²] / h
= lim_h→0 [2xh + h²] / h
= lim_h→0 (2x + h)
= 2x

Jadi, turunan dari f(x) = x² adalah f′(x) = 2x.

B. Rumus-Rumus Turunan Fungsi

Misalkan f, u, dan v adalah fungsi-fungsi dalam x, C adalah suatu konstanta, dan n adalah bilangan bulat positif, maka berlaku rumus-rumus berikut:

1. Jika f(x) = C maka f′(x) = 0.
2. Jika f(x) = x maka f′(x) = 1.
3. Jika f(x) = xⁿ maka f′(x) = n·xⁿ⁻¹.
4. Jika f(x) = C·u(x) maka f′(x) = C·u′(x).
5. Jika f(x) = u(x) + v(x), maka f'(x) = u'(x) + v'(x).
6. Jika f(x) = u(x) - v(x), maka f'(x) = u'(x) - v'(x).
7. Jika f(x) = u(x) × v(x), maka f'(x) = u'(x)v(x) + v'(x)u(x).
8. Jika f(x) = u(x)/v(x), maka
   f'(x) = [u'(x)v(x) - v'(x)u(x)] / [v(x)]²
9. Jika f(x) = sin(x), maka f'(x) = cos(x).
10. Jika f(x) = cos(x), maka f'(x) = -sin(x).

Contoh:

1. Tentukan turunan dari f(x) = 3x² + 2x + 1

Penyelesaian:
f'(x) = 3 × 2x¹ + 2 × 1 + 0 = 6x + 2

2. Tentukan turunan dari f(x) = x²(2x + 3)

Penyelesaian:
Misalkan f(x) = u(x) × v(x) dengan:
u(x) = x² → u'(x) = 2x
v(x) = 2x + 3 → v'(x) = 2
Maka turunan f(x) adalah:
f'(x) = (2x)(2x + 3) + (2)(x²)
= 4x² + 6x + 2x² = 6x² + 6x

3. Tentukan turunan fungsi aljabar berikut:

1. \( y = 3 \)
2. \( y = x^5 \)
3. \( y = \frac{5}{x^2} \)
4. \( y = 3 \sqrt{x} \)
5. \( y = \frac{2}{3x\sqrt{x}} \)
6. \( y = \frac{3}{2} \sqrt[5]{x^3} \)

Penyelesaian:

a) Turunan konstanta adalah nol (rumus dasar 1).
\( y = 3 \Rightarrow y' = 0 \)

b) Rumus dasar 2) dengan \( n = 5 \)
\( y = x^5 \Rightarrow y' = n \cdot x^{n-1} = 5 \cdot x^{5-1} = 5x^4 \)

c) Rumus dasar 2, dan gunakan sifat eksponen:
\( y = \frac{5}{x^2} = 5x^{-2} \Rightarrow y' = n \cdot a \cdot x^{n-1} = (-2) \cdot 5 \cdot x^{-3} = -10x^{-3} = \frac{-10}{x^3} \)

d) Gunakan rumus dasar 2, dan sifat eksponen:
\( y = 3\sqrt{x} = 3x^{\frac{1}{2}} \Rightarrow y' = n \cdot a \cdot x^{n-1} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot x^{-\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{3}{2\sqrt{x}} \)

e) Rumus dasar 2, dan gunakan sifat eksponen:
\( y = \frac{2}{3x\sqrt{x}} = \frac{2}{3x^{3/2}} = \frac{2}{3}x^{-3/2} \)
\( y' = n \cdot a \cdot x^{n-1} = -\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot x^{-\frac{5}{2}} = -x^{-\frac{5}{2}} = \frac{-1}{x^{2}\sqrt{x}} \)

f) Rumus dasar 2, dan gunakan sifat eksponen:
\( y = \frac{3}{2} \cdot x^{3/5} \Rightarrow y' = n \cdot a \cdot x^{n-1} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{5} \cdot x^{-2/5} = \frac{9}{10} \cdot x^{-2/5} = \frac{9}{10\sqrt[5]{x^2}} \)

4. Tentukan turunan fungsi aljabar berikut:

Gunakan rumus dasar 5 & 6 untuk menurunkan setiap suku pada fungsi aljabar berikut.

a) \( f(x) = 3x^2 - 2x \)

Misalkan:
\( U = 3x^2 \Rightarrow U' = 6x \)
\( V = 2x \Rightarrow V' = 2 \)
Sehingga:
\( f'(x) = U' - V' = 6x - 2 \)

b) \( f(x) = 2\sqrt{x} + 5x^3 - 7 \)

Ubah bentuk akar:
\( f(x) = 2x^{1/2} + 5x^3 - 7 \)
\( f'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2x^{-1/2} + 15x^2 \)
\( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + 15x^2 \)

c) \( f(x) = x^5 + 2x^3 - 3x + 1 \)

\( f'(x) = 5x^4 + 6x^2 - 3 \)

🧩 Turunan Fungsi Aljabar (Rumus Dasar 7)

Gunakan rumus turunan hasil kali: \( y = U \cdot V \Rightarrow y' = U'V + UV' \)

5. Tentukan turunan fungsi aljabar dari fungsi:
\( y = (x^2 - 1)(2x^3 + x) \)

Penyelesaian:
Gunakan rumus dasar iv. Misalkan:
\( U = (x^2 - 1) \Rightarrow U' = 2x \)
\( V = (2x^3 + x) \Rightarrow V' = 6x^2 + 1 \)

Maka turunan:
\( y' = U' \cdot V + U \cdot V' \)

Substitusi:
\( y' = 2x(2x^3 + x) + (x^2 - 1)(6x^2 + 1) \)

Hitung:
\( = 4x^4 + 2x^2 + 6x^4 + x^2 - 6x^2 - 1 \)
\( = 10x^4 - 3x^2 - 1 \)

Jadi, turunannya adalah:
\( y' = 10x^4 - 3x^2 - 1 \)