Sudut Antara Dua Garis, Garis dan Bidang, Bidang dan Bidang pada Bangun Ruang

Materi Prasyarat :
1. Perbandingan Trigonometri

2. Aturan Sinus

3. Aturan Cosinus

Konsep Sudut

Besar sudut bisa ditentukan jika kedua objek saling berpotongan, jika kedua objek tersebut belum berpotongan maka harus ada yang digeser sejajar garis awal sehingga kedua objek menjadi berpotongan. Jika kedua objek sejajar maka tidak memiliki sudut (0°).

1. Sudut Antara Dua Garis

Misalkan terdapat garis g dan h. Jika kedua garis belum berpotongan, maka geser salah satu (atau keduanya) sehingga kedua garis berpotongan. Dalam menggeser garis harus tetap sejajar dengan posisi garis awalnya. Sudut yang terbentuk adalah pada perpotongan kedua garis yang dibatasi kedua garis (baik garis awal maupun garis hasil pergeserannya).
Langkah-langkah Menentukan Sudut Antara Dua Garis pada Dimensi Tiga :

Jika kedua garis belum berpotongan, maka geser sehingga berpotongan.

Hubungakan kedua ujung garis sehingga terbentuk segitiga.

Ada dua kemungkinan besar sudutnya, yaitu :
a) Sudut yang langsung bisa ditebak

Segitiga sama sisi, besar sudutnya 60°

Sudut siku-siku, besar sudutnya 90°

Segitiga siku-siku sama kaki, besar sudutnya 45°
b)Sudut yang tidak bisa ditebak bisa menggunakan rumus Aturan Sinus atau Aturan Cosinus

Kesimpulan

Soal Pemanasan:
1. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan besarnya sudut antara BG dan CH!
Jawab:
Langkah 1: Gambarkan bangun yang dimaksud dan geser salah satu garis sejajar agar kedua garis berpotongan

∠ (BG,CH) = ∠ (BG,BE) = ∠ EBG
∠ EBG = 60°.

2. Pada kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 2018. Jika θ adalah sudut yang terbentuk oleh AG dan AC, maka tentukan nilai sinθ!
Jawab:
Langkah 1: Gambarkan bangun yang dimaksud (kedua garis sudah berpotongan

∠ (AG,AC) = ∠ GAC = θ
\(sin θ =\frac{de}{mi} \)
\(sin θ =\frac{2018}{2018\sqrt{3}} \)
\(sin θ =\frac{1}{3}{\sqrt{3}} \)

2. Sudut Antara Garis dan Bidang

Perhatikan gambar ilustrasi di atas. Misalkan terdapat garis g dan bidang V. Jika garis dan bidang belum berpotongan (belum bertemu), maka geser salah satu (atau keduanya) sehingga berpotongan dan terbentuk sudutnya.
Langkah-langkah Menentukan Sudut Antara Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga :

Jika garis g dan bidang V belum berpotongan, maka geser sehingga berpotongan.

Lukis garis h yang merupakan hasil proyeksi garis g pada bidang V.

Sudutnya : ∠(g,V) = ∠(g,h)

Soal Pemanasan:
1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. Tentukan besar sudut garis BG dan Bidang alas ABCD!
Jawab:
Langkah 1: Gambarkan bangun yang dimaksud

∠(BG,ABCD) = ∠(BG,BC) = ∠ CBG
∠ CBG = 45°

2. Jika θ adalah sudut yang dibentuk antara garis AC dan bidang BDG pada kubus ABCD.EFGH, maka tentukan nilai sinθ!
Jawab:
Langkah 1: Gambarkan bangun yang dimaksud

∠(AC,BDG) = ∠(AC,GP) = ∠ GPC
\(sin θ =\frac{de}{mi} \)
\(sin θ =\frac{2}{\sqrt{6}} \)
\(sin θ =\frac{1}{3}{\sqrt{6}} \)

3. Sudut Antara Dua Bidang

Misalkan terdapat bidang V dan bidang W seperti pada gambar ilustrasi di atas. Jika kedua bidang belum berpotongan, maka geser salah satu (atau keduanya) sehingga berpotongan dan terbentuk sudut dari kedua bidang tersebut.
Langkah-langkah menentukan Sudut Antara Dua Bidang pada Dimensi Tiga :

Jika bidang V dan bidang W belum berpotongan, maka geser sampai berpotongan.

Lukis garis l yang merupakan perpotongan antara bidang V dan bidang W.

Lukis garis g pada bidang V dan garis h pada bidang W, dimana kedua garis ini tegak lurus dengan garis l.

Sudutnya : ∠(V,W)=∠(g,h).

Soal Pemanasan:
1. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan besarnya sudut antara bidang ABCD dan bidang ADHE!
Jawab:
Langkah 1: Gambarkan bangun yang dimaksud

∠(ABCD,BDHE) = ∠(AB,AE) = ∠ BAE
∠ BAE = 90°.

2. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan besarnya sudut antara bidang ABCD dan bidang ABGH!
Jawab:
Langkah 1: Gambarkan bangun yang dimaksud

∠(ABCD,ABGH) = ∠(BC,BG) = ∠ CBG
∠ CBG = 45°

📥 Download LKPD Kembali ke Menu Sebelumnya

Jarak Titik, Garis, dan Bidang pada Bangun Ruang

Materi Prasyarat :
1. Teorema Pythagoras

Digunakan untuk menentukan jarak jika terbentuk sebuah segitiga siku-siku

2. Perbandingan Luas Segitiga

Luas Segitiga 1 = Luas Segitiga 2
Digunakan untuk menentukan jarak jika terbentuk dua buah segitiga siku-siku

3. Aturan Cosinus

Digunakan untuk mencari panjang sisi ketiga jika diketahui dua sisi dan sudut yang diapitnya, atau untuk mencari besar sudut jika ketiga sisi diketahui

Konsep Jarak

Secara umum, yang dimaksud jarak pada dimensi tiga adalah jarak terdekat yang bisa kita peroleh dari konsep jarak yang akan kita hitung. Jarak terdekat akan kita peroleh ketika terbentuk saling tegak lurus sehingga penghitungannya bisa menggunakan teorema phytagoras. Jika garis jarak membentuk tegak lurus namun tidak tahu panjang sisi depannya atau jika terbentuk dua segitiga siku-siku maka bisa menggunakan rumus perbandingan luas segitiga dan jika garis jarak tidak membentuk garis tegak lurus maka dapat dicari menggunakan aturan cosinus.

1. Jarak Titik ke Titik

Jarak antara titik ke titik (jarak antar dua titik) dihitung dengan menggunakan teorema phytagoras biasa, hanya saja kita harus jeli dan pintar dalam memilih segitiga siku-siku yang melibatkan kedua titik tersebut.

Soal Pemanasan:
1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. Tentukan :
a. Panjang jarak titik H ke C
b. Panjang jarak titik E ke C
Jawab:
Langkah 1: Gambarkan bangun yang dimaksud

Langkah 2: Gunakan garis bantu agar membentuk segitiga siku-siku
a. Jarak titik H ke C (gunakan garis bantu HD dan CD)

\( HC=\sqrt{HD^2 + CD^2}{} \)
\( HC=\sqrt{a^2 + a^2}{} \)
\( HC=\sqrt{2a^2}{} \)
\( HC=2\sqrt{2}{} \)
Jadi panjang jarak titik H ke C adalah \( 2\sqrt{2}{} \)

b. Jarak titik E ke C (gunakan garis bantu HC dan HE)

\( EC=\sqrt{CH^2 + EH^2}{} \)
\( EC=\sqrt{(a\sqrt{2})^2{} + a^2}{} \)
\( EC=\sqrt{2a^2+a^2}{} \)
\( EC=\sqrt{3a^2}{} \)
\( EC=a\sqrt{3}{} \)

Untuk lebih memperdalam jarak titik ke titik (khususnya jarak istimewa pada kubus), silakan download dan kerjakan LKPD berikut!

2. Jarak Titik ke Garis
a. Proyeksi Titik ke Garis
Untuk proyeksi titik ke garis, titik sebagai proyeksian dan garis sebagai proyeksitor. Berikut gambar proyeksinya :

Dari gambar, proyeksi titik P ke segmen garis AB yang hasil proyeksinya adalah titik R yang ada pada garis AB. Titik R tersebut dikatakan hasil proyeksi jika garis PR (putus-putus) tegak lurus dengan garis AB.

b. Konsep Jarak Titik ke Garis
Misalkan kita mau menghitung jarak titik A ke garis BC, perhatikan gambar berikut ini.

Gambar a Jarak Titik A ke Garis BC
Gambar b Jarak Titik A ke Garis BC = Jarak A ke D (Titik D hasil proyeksian dari titik A terhadap BC)
Gambar c Untuk menghitung panjang AD, kita buat segitiga bantuan dengan menghubungkan AB dan AC sehingga terbentuk segitiga ABC.

Soal Pemanasan:
1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. Tentukan panjang jarak titik E ke garis AG
Jawab:
Langkah 1: Gambarkan bangun yang dimaksud

Langkah 2: Gunakan garis bantu EG dan AE

Luas Segitiga 1 = Luas Segitiga 2
\( \frac{1}{2} \) x a x t = \( \frac{1}{2} \) x a x t
AG x EN = AE x EG
\( a\sqrt{3}{} \) x EN = a x \( a\sqrt{2}{} \)
EN = \( \frac{a . a\sqrt{2}{} }{a\sqrt{3}{}} \)
EN = \( \frac{a}{3} \)\( \sqrt{6}{} \)

3. Jarak Titik ke Bidang
a. Proyeksi Titik ke Bidang
Untuk proyeksi titik ke bidang, titik sebagai proyeksian dan bidang sebagai proyeksitor. Berikut gambar proyeksinya :

b. Konsep Jarak Titik ke Bidang
Misalkan a adalah suatu bidang datar dan titik P merupakan sebuah titik yang berada di luar bidang a. Jarak titik P terhadap bidang a merupakan panjang garis tegak lurus dari titik P ke bidang a yang diwakili oleh Garis k dan tegak dan titik O. Panjang garis tegak lurus inilah merupakan jarak terpendeknya dari titik P ke bidang a. Sehingga jarak P ke bidang a adalah garis PO.

Langkah-langkah mengubah jarak P ke bidang α menjadi jarak titik ke garis k:

Lukis bidang β yang melalui garis P dan tegak lurus dengan bidang α.

Lukis garis k yang merupakan perpotongan antara β dan α.

Jarak titik P ke Bidang α adalah jarak titik ke garis k, sama dengan jarak titik P ke titik A.

Soal Pemanasan:
1. Sebuah kubus KLMN.OPQR memiliki panjang rusuk a cm. Perhatikan segitiga KMR, tentukanlah jarak titik N ke bidang KMR ?
Jawab:
Langkah 1: Gambarkan bangun yang dimaksud

Langkah 2: Buat Bidang yang Tegak Lurus Bidang KMR

Cara 1
Luas Segitiga 1 = Luas Segitiga 2
\( \frac{1}{2} \) x a x t = \( \frac{1}{2} \) x a x t
TR x NS = TN x RN
\(NS= \frac{TN.RN}{TR} \)
\(NS= \frac{1/2 a\sqrt{2}.a{}}{1/2.a\sqrt{6}} \)
\(NS= \frac{1}{3}a\sqrt{3} \)

Cara Kilat
Perhatikan ilustrasi berikut!

Jarak Titik N ke Bidang NMR = Jarak Titik N ke Garis RO = Jarak Titik N ke Titik X

\(NX= \frac{1}{3}NP \)
\(NX= \frac{1}{3} a\sqrt{3} \)

4. Jarak Garis ke Bidang
a. Proyeksi Garis ke Bidang
Untuk proyeksi garis ke bidang, garis sebagai proyeksian dan bidang sebagai proyeksitor. Berikut gambar proyeksinya :

Dari gambar, proyeksi segmen garis AB ke bidang W yang hasil proyeksinya adalah segmen garis PR yang ada pada bidang W. Segmen garis PR tersebut dikatakan hasil proyeksi jika garis putus-putus tegak lurus dengan bidang W. Proyeksian = segmen garis AB, hasil proyeksian = segmen garis PR, dan proyeksitor = bidang W.

b. Konsep Jarak Garis ke Bidang
Misalkan terdapat garis m dan bidang α yang tidak berpotongan, perhatikan ilustrasi gambar berikut!

Langkah-langkah Menentukan jarak garis m ke bidang α yaitu :

Buatlah bidang yang melalui garis m dan tegak lurus bidang α

Tentukan perpotongan bidang baru dan bidang α (misalkan keduanya berpotongan di sepanjang garis k)

Jarak garis m ke bidang α = Jarak m ke k yg diwakili oleh jarak P ke Q.

Soal Pemanasan:
1. Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk a cm. Tentukanlah jarak BC ke ADHE!
Jawab:
Langkah 1: Gambarkan bangun yang dimaksud

Langkah 2: Buat bidang yang melalui BC dan tegak lurus dengan ADHE
Langkah 3: Perpotongan kedua bidang tersebut ada pada garis AD
Jadi, jarak BC ke ADHE = jarak BC ke AD = jarak B ke A = a cm.

📥 Download LKPD Kembali ke Menu Sebelumnya