Jarak Titik, Garis, dan Bidang pada Bangun Ruang

Materi Prasyarat :
1. Teorema Pythagoras

Digunakan untuk menentukan jarak jika terbentuk sebuah segitiga siku-siku

2. Perbandingan Luas Segitiga

Luas Segitiga 1 = Luas Segitiga 2
Digunakan untuk menentukan jarak jika terbentuk dua buah segitiga siku-siku

3. Aturan Cosinus

Digunakan untuk mencari panjang sisi ketiga jika diketahui dua sisi dan sudut yang diapitnya, atau untuk mencari besar sudut jika ketiga sisi diketahui

Konsep Jarak

Secara umum, yang dimaksud jarak pada dimensi tiga adalah jarak terdekat yang bisa kita peroleh dari konsep jarak yang akan kita hitung. Jarak terdekat akan kita peroleh ketika terbentuk saling tegak lurus sehingga penghitungannya bisa menggunakan teorema phytagoras. Jika garis jarak membentuk tegak lurus namun tidak tahu panjang sisi depannya atau jika terbentuk dua segitiga siku-siku maka bisa menggunakan rumus perbandingan luas segitiga dan jika garis jarak tidak membentuk garis tegak lurus maka dapat dicari menggunakan aturan cosinus.

1. Jarak Titik ke Titik

Jarak antara titik ke titik (jarak antar dua titik) dihitung dengan menggunakan teorema phytagoras biasa, hanya saja kita harus jeli dan pintar dalam memilih segitiga siku-siku yang melibatkan kedua titik tersebut.

Soal Pemanasan:
1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. Tentukan :
a. Panjang jarak titik H ke C
b. Panjang jarak titik E ke C
Jawab:
Langkah 1: Gambarkan bangun yang dimaksud

Langkah 2: Gunakan garis bantu agar membentuk segitiga siku-siku
a. Jarak titik H ke C (gunakan garis bantu HD dan CD)

\( HC=\sqrt{HD^2 + CD^2}{} \)
\( HC=\sqrt{a^2 + a^2}{} \)
\( HC=\sqrt{2a^2}{} \)
\( HC=2\sqrt{2}{} \)
Jadi panjang jarak titik H ke C adalah \( 2\sqrt{2}{} \)

b. Jarak titik E ke C (gunakan garis bantu HC dan HE)

\( EC=\sqrt{CH^2 + EH^2}{} \)
\( EC=\sqrt{(a\sqrt{2})^2{} + a^2}{} \)
\( EC=\sqrt{2a^2+a^2}{} \)
\( EC=\sqrt{3a^2}{} \)
\( EC=a\sqrt{3}{} \)

Untuk lebih memperdalam jarak titik ke titik (khususnya jarak istimewa pada kubus), silakan download dan kerjakan LKPD berikut!

2. Jarak Titik ke Garis
a. Proyeksi Titik ke Garis
Untuk proyeksi titik ke garis, titik sebagai proyeksian dan garis sebagai proyeksitor. Berikut gambar proyeksinya :

Dari gambar, proyeksi titik P ke segmen garis AB yang hasil proyeksinya adalah titik R yang ada pada garis AB. Titik R tersebut dikatakan hasil proyeksi jika garis PR (putus-putus) tegak lurus dengan garis AB.

b. Konsep Jarak Titik ke Garis
Misalkan kita mau menghitung jarak titik A ke garis BC, perhatikan gambar berikut ini.

Gambar a Jarak Titik A ke Garis BC
Gambar b Jarak Titik A ke Garis BC = Jarak A ke D (Titik D hasil proyeksian dari titik A terhadap BC)
Gambar c Untuk menghitung panjang AD, kita buat segitiga bantuan dengan menghubungkan AB dan AC sehingga terbentuk segitiga ABC.

Soal Pemanasan:
1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. Tentukan panjang jarak titik E ke garis AG
Jawab:
Langkah 1: Gambarkan bangun yang dimaksud

Langkah 2: Gunakan garis bantu EG dan AE

Luas Segitiga 1 = Luas Segitiga 2
\( \frac{1}{2} \) x a x t = \( \frac{1}{2} \) x a x t
AG x EN = AE x EG
\( a\sqrt{3}{} \) x EN = a x \( a\sqrt{2}{} \)
EN = \( \frac{a . a\sqrt{2}{} }{a\sqrt{3}{}} \)
EN = \( \frac{a}{3} \)\( \sqrt{6}{} \)

3. Jarak Titik ke Bidang
a. Proyeksi Titik ke Bidang
Untuk proyeksi titik ke bidang, titik sebagai proyeksian dan bidang sebagai proyeksitor. Berikut gambar proyeksinya :

b. Konsep Jarak Titik ke Bidang
Misalkan a adalah suatu bidang datar dan titik P merupakan sebuah titik yang berada di luar bidang a. Jarak titik P terhadap bidang a merupakan panjang garis tegak lurus dari titik P ke bidang a yang diwakili oleh Garis k dan tegak dan titik O. Panjang garis tegak lurus inilah merupakan jarak terpendeknya dari titik P ke bidang a. Sehingga jarak P ke bidang a adalah garis PO.

Langkah-langkah mengubah jarak P ke bidang α menjadi jarak titik ke garis k:

Lukis bidang β yang melalui garis P dan tegak lurus dengan bidang α.

Lukis garis k yang merupakan perpotongan antara β dan α.

Jarak titik P ke Bidang α adalah jarak titik ke garis k, sama dengan jarak titik P ke titik A.

Soal Pemanasan:
1. Sebuah kubus KLMN.OPQR memiliki panjang rusuk a cm. Perhatikan segitiga KMR, tentukanlah jarak titik N ke bidang KMR ?
Jawab:
Langkah 1: Gambarkan bangun yang dimaksud

Langkah 2: Buat Bidang yang Tegak Lurus Bidang KMR

Cara 1
Luas Segitiga 1 = Luas Segitiga 2
\( \frac{1}{2} \) x a x t = \( \frac{1}{2} \) x a x t
TR x NS = TN x RN
\(NS= \frac{TN.RN}{TR} \)
\(NS= \frac{1/2 a\sqrt{2}.a{}}{1/2.a\sqrt{6}} \)
\(NS= \frac{1}{3}a\sqrt{3} \)

Cara Kilat
Perhatikan ilustrasi berikut!

Jarak Titik N ke Bidang NMR = Jarak Titik N ke Garis RO = Jarak Titik N ke Titik X

\(NX= \frac{1}{3}NP \)
\(NX= \frac{1}{3} a\sqrt{3} \)

4. Jarak Garis ke Bidang
a. Proyeksi Garis ke Bidang
Untuk proyeksi garis ke bidang, garis sebagai proyeksian dan bidang sebagai proyeksitor. Berikut gambar proyeksinya :

Dari gambar, proyeksi segmen garis AB ke bidang W yang hasil proyeksinya adalah segmen garis PR yang ada pada bidang W. Segmen garis PR tersebut dikatakan hasil proyeksi jika garis putus-putus tegak lurus dengan bidang W. Proyeksian = segmen garis AB, hasil proyeksian = segmen garis PR, dan proyeksitor = bidang W.

b. Konsep Jarak Garis ke Bidang
Misalkan terdapat garis m dan bidang α yang tidak berpotongan, perhatikan ilustrasi gambar berikut!

Langkah-langkah Menentukan jarak garis m ke bidang α yaitu :

Buatlah bidang yang melalui garis m dan tegak lurus bidang α

Tentukan perpotongan bidang baru dan bidang α (misalkan keduanya berpotongan di sepanjang garis k)

Jarak garis m ke bidang α = Jarak m ke k yg diwakili oleh jarak P ke Q.

Soal Pemanasan:
1. Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk a cm. Tentukanlah jarak BC ke ADHE!
Jawab:
Langkah 1: Gambarkan bangun yang dimaksud

Langkah 2: Buat bidang yang melalui BC dan tegak lurus dengan ADHE
Langkah 3: Perpotongan kedua bidang tersebut ada pada garis AD
Jadi, jarak BC ke ADHE = jarak BC ke AD = jarak B ke A = a cm.

📥 Download LKPD Kembali ke Menu Sebelumnya