Pilih Capaian Pembelajaran: Matematika Fase E Matematika Tingkat Lanjut Fase E Matematika Fase F Matematika Tingkat Lanjut Fase F

D. Pembuktian Pernyataan Matematis Keterbagian

Pernyataan "a habis dibagi b" ekuivalen dengan :

a kelipatan b.

b faktor dari a.

b membagi a.

C. Pembuktian Pernyataan Matematis Ketidaksamaan

Sifat Transitif

a > b > c → a > c atau a < b < c → a < c.

Prinsip Ketidaksamaan

a > b dan c > 0 → ac > bc atau a < b dan c > 0 → ac < bc.

a > b → a + c > b + c atau a < b → a + c < b + c.

CONTOH :

Buktikan bahwa 4n ≤ 2ⁿ untuk semua bilangan asli n ≥ 5!

Langkah 1
4n < 2ⁿ ; n ≥ 5
substitusi n = 5
4(5) < 2⁵
20 < 32 (benar)

Langkah 2
4n < 2ⁿ
substitusi n = k
4k < 2^k (asumsikan benar)

Langkah 3
4n < 2ⁿ
substitusi n = k + 1
4(k + 1) < 2^k+1
4k + 4 < 2^k + 2¹
lihat ruas kiri
4k + 4 < 2^k + 4 (berdasarkan sifat transitif a < b → a + c < b + c)
4k + 4 < 2^k + 4 < 2^k + 2¹ (berdasarkan sifat transitif a < b < c → a < c)
4k + 4 < 2^k + 2¹
4(k + 1) < 2^k+1 (terbukti)

Kesimpulan :
Jadi, 4n ≤ 2ⁿ terbukti benar untuk semua bilangan asli n ≥ 5! Kembali ke Menu Sebelumnya

B. Pembuktian Pernyataan Matematis Berupa Barisan

CONTOH

Misalkan kita akan menjumlahkan bilangan ganjil sebagai berikut :

1 + 3 + 5 + ... + 2n - 1 = n²

Buktikan bahwa untuk jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n²

Langkah 1
1 + 3 + 5 + ... + 2n - 1 = n²
substitusi n = 1
2n - 1 = n²
2(1) - 1 = 1²
1 = 1 (benar)

Langkah 2
Asumsikan benar untuk n = k
substitusi n = k
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k² (benar)

Langkah 3
substitusi n = k + 1
1 + 3 + 5 + ... + 2k - 1 + 2(k + 1) - 1 = (k + 1)²
1 + 3 + 5 + ... + 2k - 1 + 2(k + 1) - 1 = (k + 1)²
k²+ 2(k + 1) - 1 = (k + 1)²
k² + 2k + 2 - 1 = (k + 1)²
k² + 2k + 1 = (k + 1)²
(k + 1)² = (k + 1)² (terbukti)

Kesimpulan :
Jadi, 1 + 3 + 5 + ... + 2n - 1 = n² benar untuk jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n² karena memenuhi kedua langkah pembuktian. Kembali ke Menu Sebelumnya

“Matematika adalah bahasa di mana Tuhan menulis alam semesta.” – Galileo Galilei

“Segala sesuatu harus dibuat sesederhana mungkin, tetapi tidak lebih sederhana.” – Albert Einstein

“Tanpa matematika, tidak ada yang bisa kamu lakukan. Segalanya di sekitarmu adalah matematika.” – Shakuntala Devi

“Logika akan membawamu dari A ke B. Imajinasi akan membawamu ke mana saja.” – Albert Einstein

A. Pengantar Induksi Matematika

Perlu kita ingat bahwa yang namanya belajar akan menjadi maksimal apabila kita menguasai konsepnya. Nah salah satu cara melatih pemahaman konsep suatu materi adalah dengan membuktikan rumus. Singkatnya sih, dengan membuktikan rumus, kita dituntut untuk memahami beberapa konsep sekaligus.

Nah kali ini kita akan belajar memahami salah satu cara membuktikan rumus, yaitu dengan Induksi Matematika.

Induksi Matematika hanya bisa digunakan untuk setiap model matematika berupa persamaan atau pertidaksamaan yang variabel acaknya merupakan Bilangan Asli. Artinya kamu tidak bisa menggunakan Induksi Matematika pada model matematika baik berupa persamaan atau pertidaksamaan yang variabel acaknya BUKAN Bilangan Asli.

Apa sih Induksi Matematika itu?

Induksi Matematika merupakan salah satu cara pembuktian rumus atau pernyataan matematika, atau lebih tepatnya metode pembuktian terhadap suatu pernyataan apakah pernyataan tersebut berlaku untuk setiap kasus.

ILUSTRASI

Misalkan kita akan menjumlahkan 200 bilangan asli yang pertama berikut :

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 199 + 200 = ...

Untuk mempermudah perhitungan, perhatikan pola berikut :

Jumlah satu suku S1	=	1	=	\( \frac{1 . 2}{2} \)
Jumlah dua suku S2	=	1 + 2 = 3	=	\( \frac{2 . 3}{2} \)
Jumlah tiga suku S3	=	1 + 2 + 3 = 6	=	\( \frac{3 . 4}{2} \)
Jumlah empat suku S4	=	1 + 2 + 3 + 4 = 10	=	\( \frac{4 . 5}{2} \)

Dari informasi di atas, diketahui bahwa untuk menghitung jumlah deret tersebut untuk n bilangan asli berapapun ternyata sudah ada rumusnya. Jadi, kita ngga perlu repot-repot menjumlahkan satu per satu seperti diatas. Tinggal kita masukkan saja nilai n ke dalam rumus tersebut.

BAGAIMANA RUMUSNYA?

Untuk deret di atas, rumusnya adalah sebagai berikut :

S_n = \( \frac{n (n + 1)}{2} \)

Bisa juga ditulis seperti ini :

1 + 2 + 3 + ... + n = \( \frac{n (n + 1)}{2} \)

“Sebagai matematikawan yang baik, sebaiknya kita harus curiga, tahu dari mana kalau rumus itu benar? Tahu dari mana bahwa rumus itu berlaku untuk nilai n bilangan asli? Bagaimana Membuktikannya?

Dalam matematika, proses dari pengembangan pola sampai pengambilan kesimpulan dari ilustrasi tadi, tidak dapat dianggap sebagai bukti untuk rumus

S_n = \( \frac{n (n + 1)}{2} \)

Oleh karena itu, kita memerlukan suatu bukti formal bahwa kesimpulan tersebut benar untuk setiap bilangan asli n.

“Itulah sebabnya mengapa kita harus mempelajari INDUKSI MATEMATIKA"

B. Konsep Induksi Matematika

Dengan menggunakan Induksi Matematika, kita bisa membuktikan rumus S_n tadi tanpa perlu menghitung satu persatu. Caranya Easy Buaaangeeet, kita hanya butuh melakukan verifikasi tiga langkah yaitu sebagai berikut :

1. Tunjukkan bahwa rumus S_n benar untuk n = 1 atau S₁ benar.
2. Asumsikan bahwa rumus S_n benar untuk n = k, maka :
3. Tunjukkan bahwa rumus S_n juga benar untuk n = k + 1, S_k benar → S_k+1 juga benar.

Dua langkah itu bisa membuktikan bahwa S_n BENAR untuk semua n bilangan asli?

Loh kok bisa?

Kamu pasti tahu, atau pernah main domino kan ya?
Apa hubungan antara Domino dan Induksi Matematika?
Coba kita lihat ketiga langkah itu satu per satu ya...

Langkah 1
Buktikan bahwa S_n benar untuk n = 1!
Langkah pertama ini gampang banget, tinggal kita gantikan n dengan 1 ke dalam persamaan lalu kita hitung deretnya.
1 + 2 + 3 + ... + n = \( \frac{n (n + 1)}{2} \)
1 + 2 + 3 + ... + n = \( \frac{n (n + 1)}{2} \)
substitusi n = 1
n = \( \frac{n (n + 1)}{2} \)
1 = \( \frac{1 (1 + 1)}{2} \)
1 = \( \frac{1 (2)}{2} \)
1 = \( \frac{2}{2} \)
1 = 1 (benar)

Langkah 2
Asumsikan bahwa n = k adalah benar!
substitusi n = k
1 + 2 + 3 + ... + n = \( \frac{n (n + 1)}{2} \)

1 + 2 + 3 + ... + k = \( \frac{k (k + 1)}{2} \) (benar)

Langkah 3
Buktikan bahwa n = k + 1 benar!
substitusi n = k + 1
1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \( \frac{(k + 1) ((k + 1) + 1)}{2} \)

1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \( \frac{(k + 1) ((k + 1) + 1)}{2} \)

\( \frac{k (k + 1)}{2} \)+ (k + 1) = \( \frac{(k + 1) ((k + 1) + 1)}{2} \)

\( \frac{k (k + 1)+ 2(k + 1)}{2} \) = \( \frac{(k + 1) (k + 2)}{2} \)

\( \frac{k^2 + k + 2k + 2}{2} \) = \( \frac{(k + 1) (k + 2)}{2} \)

\( \frac{k^2 + 3k + 2}{2} \) = \( \frac{(k + 1) (k + 2)}{2} \)

\( \frac{(k + 1) (k + 2)}{2} \) = \( \frac{(k + 1) (k + 2)}{2} \) (terbukti)

Kembali ke Menu Sebelumnya

A. Limit Fungsi di Suatu Titik

Limit fungsi f(x) di suatu titik x = a adalah nilai yang didekati oleh f(x) untuk x mendekati a dan x ≠ a. Jika x mendekati a maka f(x) mendekati L, ditulis:

lim_x→a f(x) = L

Ilustrasi Grafik Limit

Perhatikan grafik berikut untuk memahami bagaimana limit bekerja saat x mendekati 2:

Langkah-langkah menentukan limit fungsi:

1. Faktorkan pembilang dan penyebut dari f(x), lalu sederhanakan.
2. Jika belum bisa disederhanakan, kalikan f(x) dengan sekawan dari penyebut, lalu sederhanakan.

Contoh:
Tentukan:

lim_x→3 (x² − 9) / (x − 3)

Faktorkan:

= lim_x→3 (x − 3)(x + 3) / (x − 3)

Sederhanakan:

= lim_x→3 x + 3

Substitusi :

= 3 + 3 = 6

B. Sifat-Sifat Limit Fungsi

Misalkan k bilangan bulat positif, f dan g fungsi yang memiliki limit di x = c, maka:

1. lim_x→c k = k
2. lim_x→c x = c
3. lim_x→c k·f(x) = k·lim_x→c f(x)
4. lim_x→c [f(x) + g(x)] = lim_x→c f(x) + lim_x→c g(x)
5. lim_x→c [f(x) − g(x)] = lim_x→c f(x) − lim_x→c g(x)
6. lim_x→c [f(x) · g(x)] = lim_x→c f(x) · lim_x→c g(x)
7. lim_x→c f(x)/g(x) = lim_x→c f(x) / lim_x→c g(x), dengan lim_x→c g(x) ≠ 0
8. lim_x→c [f(x)]ⁿ = [lim_x→c f(x)]ⁿ
9. lim_x→c ^{n _{√f(x) =} n _{√limx→c f(x)}}

Video Penjelasan Singkat

Simak video berikut untuk memahami konsep limit lebih lanjut:

Kembali ke Menu Sebelumnya