A. Definisi Turunan Fungsi

Apabila fungsi f(x) mempunyai turunan untuk setiap x anggota domain D, dengan D ∈ bilangan real, maka turunan fungsi dari f(x) adalah f′(x) yang dirumuskan sebagai berikut:

f′(x) = lim_{h → 0} [f(x + h) - f(x)] / h

Contoh:

Tentukan turunan dari f(x) = x².

Penyelesaian:

f′(x) = lim_h→0 [(x + h)² - x²] / h
= lim_h→0 [x² + 2xh + h² - x²] / h
= lim_h→0 [2xh + h²] / h
= lim_h→0 (2x + h)
= 2x

Jadi, turunan dari f(x) = x² adalah f′(x) = 2x.

B. Rumus-Rumus Turunan Fungsi

Misalkan f, u, dan v adalah fungsi-fungsi dalam x, C adalah suatu konstanta, dan n adalah bilangan bulat positif, maka berlaku rumus-rumus berikut:

1. Jika f(x) = C maka f′(x) = 0.
2. Jika f(x) = x maka f′(x) = 1.
3. Jika f(x) = xⁿ maka f′(x) = n·xⁿ⁻¹.
4. Jika f(x) = C·u(x) maka f′(x) = C·u′(x).
5. Jika f(x) = u(x) + v(x), maka f'(x) = u'(x) + v'(x).
6. Jika f(x) = u(x) - v(x), maka f'(x) = u'(x) - v'(x).
7. Jika f(x) = u(x) × v(x), maka f'(x) = u'(x)v(x) + v'(x)u(x).
8. Jika f(x) = u(x)/v(x), maka
   f'(x) = [u'(x)v(x) - v'(x)u(x)] / [v(x)]²
9. Jika f(x) = sin(x), maka f'(x) = cos(x).
10. Jika f(x) = cos(x), maka f'(x) = -sin(x).

Contoh:

1. Tentukan turunan dari f(x) = 3x² + 2x + 1

Penyelesaian:
f'(x) = 3 × 2x¹ + 2 × 1 + 0 = 6x + 2

2. Tentukan turunan dari f(x) = x²(2x + 3)

Penyelesaian:
Misalkan f(x) = u(x) × v(x) dengan:
u(x) = x² → u'(x) = 2x
v(x) = 2x + 3 → v'(x) = 2
Maka turunan f(x) adalah:
f'(x) = (2x)(2x + 3) + (2)(x²)
= 4x² + 6x + 2x² = 6x² + 6x

3. Tentukan turunan fungsi aljabar berikut:

1. \( y = 3 \)
2. \( y = x^5 \)
3. \( y = \frac{5}{x^2} \)
4. \( y = 3 \sqrt{x} \)
5. \( y = \frac{2}{3x\sqrt{x}} \)
6. \( y = \frac{3}{2} \sqrt[5]{x^3} \)

Penyelesaian:

a) Turunan konstanta adalah nol (rumus dasar 1).
\( y = 3 \Rightarrow y' = 0 \)

b) Rumus dasar 2) dengan \( n = 5 \)
\( y = x^5 \Rightarrow y' = n \cdot x^{n-1} = 5 \cdot x^{5-1} = 5x^4 \)

c) Rumus dasar 2, dan gunakan sifat eksponen:
\( y = \frac{5}{x^2} = 5x^{-2} \Rightarrow y' = n \cdot a \cdot x^{n-1} = (-2) \cdot 5 \cdot x^{-3} = -10x^{-3} = \frac{-10}{x^3} \)

d) Gunakan rumus dasar 2, dan sifat eksponen:
\( y = 3\sqrt{x} = 3x^{\frac{1}{2}} \Rightarrow y' = n \cdot a \cdot x^{n-1} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot x^{-\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{3}{2\sqrt{x}} \)

e) Rumus dasar 2, dan gunakan sifat eksponen:
\( y = \frac{2}{3x\sqrt{x}} = \frac{2}{3x^{3/2}} = \frac{2}{3}x^{-3/2} \)
\( y' = n \cdot a \cdot x^{n-1} = -\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot x^{-\frac{5}{2}} = -x^{-\frac{5}{2}} = \frac{-1}{x^{2}\sqrt{x}} \)

f) Rumus dasar 2, dan gunakan sifat eksponen:
\( y = \frac{3}{2} \cdot x^{3/5} \Rightarrow y' = n \cdot a \cdot x^{n-1} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{5} \cdot x^{-2/5} = \frac{9}{10} \cdot x^{-2/5} = \frac{9}{10\sqrt[5]{x^2}} \)

4. Tentukan turunan fungsi aljabar berikut:

Gunakan rumus dasar 5 & 6 untuk menurunkan setiap suku pada fungsi aljabar berikut.

a) \( f(x) = 3x^2 - 2x \)

Misalkan:
\( U = 3x^2 \Rightarrow U' = 6x \)
\( V = 2x \Rightarrow V' = 2 \)
Sehingga:
\( f'(x) = U' - V' = 6x - 2 \)

b) \( f(x) = 2\sqrt{x} + 5x^3 - 7 \)

Ubah bentuk akar:
\( f(x) = 2x^{1/2} + 5x^3 - 7 \)
\( f'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2x^{-1/2} + 15x^2 \)
\( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + 15x^2 \)

c) \( f(x) = x^5 + 2x^3 - 3x + 1 \)

\( f'(x) = 5x^4 + 6x^2 - 3 \)

🧩 Turunan Fungsi Aljabar (Rumus Dasar 7)

Gunakan rumus turunan hasil kali: \( y = U \cdot V \Rightarrow y' = U'V + UV' \)

5. Tentukan turunan fungsi aljabar dari fungsi:
\( y = (x^2 - 1)(2x^3 + x) \)

Penyelesaian:
Gunakan rumus dasar iv. Misalkan:
\( U = (x^2 - 1) \Rightarrow U' = 2x \)
\( V = (2x^3 + x) \Rightarrow V' = 6x^2 + 1 \)

Maka turunan:
\( y' = U' \cdot V + U \cdot V' \)

Substitusi:
\( y' = 2x(2x^3 + x) + (x^2 - 1)(6x^2 + 1) \)

Hitung:
\( = 4x^4 + 2x^2 + 6x^4 + x^2 - 6x^2 - 1 \)
\( = 10x^4 - 3x^2 - 1 \)

Jadi, turunannya adalah:
\( y' = 10x^4 - 3x^2 - 1 \)