Senin, 16 Juni 2025

A. Lingkaran dan Busur Lingkaran

1. Lingkaran
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar yang berjarak sama terhadap satu titik tetap. Titik tetap tersebut dinamakan titik pusat (P). Jarak yang sama tersebut dinamakan jari-jari.

Rumus :
  • Luas Lingkaran = πr2
  • Keliling Lingkaran = 2πr
  • π = 3,14 atau \( \frac{22}{7} \)

    • 2. Busur Lingkaran
    Busur adalah himpunan titik-titik yang berupa kurva lengkung (baik terbuka atau tertutup) dan berimpit dengan lingkaran.
    Misalkan titik A dan B terletak pada lingkaran P, maka busur AB dapat digambarkan sebagai berikut:
    Jika tidak ada keterangan maka yang dimaksud adalah busur minor AB.

    3. Panjang Busur Lingkaran
    Jika diketahui lingkaran sebagai berikut:

    Keterangan:
  • P = Titik pusat lingkaran
  • α = Besar sudut pusat lingkaran
  • AB = Busur lingkaran
  • AP = BP = r = Jari-jari lingkaran
    • Rumus :

    \( \frac{Panjang busur}{Keliling lingkaran}\) = \( \frac{Besar sudut pusat}{Sudut lingkaran} \)

    \( \frac{Panjang AB}{2πr}\) = \( \frac{α}{360°} \)

    Panjang AB = \( \frac{α}{360°} \) . 2πr

    Soal Pemanasan:
    1. Diketahui sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap busur yang sama seperti gambar berikut:
    Jika panjang ∠ APB merupakan sudut pusat yang menghadap busur AB dan ∠ ACB merupakan sudut keliling yang juga menghadap busur AB.
    Jawab:
    Panjang AB = \( \frac{α}{360°} \) . 2πr

      = \( \frac{120°}{360°} \) . 2(\( \frac{22}{7} \))(21)

      =\( \frac{1}{3} \) . (44)(3)

      = 44
    2. Perhatikan lingkaran berikut!
    Diketahui besar ∠ KPL = 135°. Jika panjang PK = 12 cm, panjang busur KL adalah . .
    Jawab:
    Panjang KL = \( \frac{α}{360°} \) . 2πr

      = \( \frac{135°}{360°} \) . 2π(12)

      = \( \frac{9}{24} \) . 2π(12)

      = 9π

    4. Sudut Pusat dan Sudut Keliling
    Misalkan titik A, B dan C terletak pada lingkaran P sebagaimana pada gambar berikut:
    a. Sudut Pusat yaitu sudut yang titik sudutnya terletak pada pusat lingkaran, dan kedua kaki sudutnya merupakan jari-jari lingkaran.
    Maka sudut APB (∠ APB) = α merupakan sudut pusat yang menghadap busur AB.

    b. Sudut Keliling yaitu sudut yang titik sudutnya terletak pada lingkaran, dan kedua kaki sudutnya termasuk tali busur lingkaran.
    Maka sudut ACB (∠ ACB) = beta merupakan sudut keliling yang menghadap busur AB.

    Soal Pemanasan:
    1. Perhatikan lingkaran berikut.

    Jika panjang PA = 21 cm dan besar ∠ APB = 120°, tentukan panjang busur AB!
    Jawab:
    Panjang AB = \( \frac{α}{360°} \) . 2πr

      = \( \frac{120°}{360°} \) . 2(\( \frac{22}{7} \))(21)

      =\( \frac{1}{3} \) . (44)(3)

      = 44
    2. Perhatikan lingkaran berikut!
    Diketahui besar ∠ KPL = 135°. Jika panjang PK = 12 cm, panjang busur KL adalah . .
    Jawab:
    Panjang KL = \( \frac{α}{360°} \) . 2πr

      = \( \frac{135°}{360°} \) . 2π(12)

      = \( \frac{9}{24} \) . 2π(12)

      = 9π

    📥 Download LKPD Kembali ke Menu Sebelumnya
    - Tidak ada komentar:

    Senin, 09 Juni 2025

    7 Tips Efektif Belajar SNBT agar Lolos PTN Impian

    Seleksi Nasional Berdasarkan Tes (SNBT) adalah salah satu jalur masuk perguruan tinggi negeri yang sangat kompetitif. Agar bisa bersaing dan lolos, kamu harus menyiapkan strategi belajar yang tepat. Berikut ini 7 tips efektif belajar SNBT yang bisa kamu terapkan mulai sekarang!

    1. Pahami Struktur Soal SNBT

    Sebelum mulai belajar, pahami dulu jenis-jenis soal yang akan diujikan, seperti:

    • Penalaran Umum
    • Pengetahuan dan Pemahaman Umum
    • Kemampuan Memahami Bacaan dan Menulis
    • Penalaran Matematika

    Dengan memahami struktur ini, kamu bisa menyusun prioritas belajar yang lebih terarah.

    2. Buat Jadwal Belajar yang Konsisten

    Tentukan jam belajar tetap setiap hari. Misalnya 2 jam di pagi hari dan 2 jam di malam hari. Jangan terlalu lama belajar dalam satu sesi, istirahat 5–10 menit setiap 25 menit belajar (gunakan teknik Pomodoro).

    3. Gunakan Soal Tahun-Tahun Sebelumnya

    Latihan soal SNBT tahun-tahun sebelumnya bisa membantumu mengenali pola soal dan tingkat kesulitannya. Semakin sering latihan, semakin siap kamu menghadapi ujian yang sesungguhnya.

    4. Fokus pada Pemahaman, Bukan Hafalan

    SNBT lebih menguji kemampuan berpikir dan bernalar, bukan sekadar hafalan. Maka, utamakan pemahaman konsep, terutama dalam penalaran umum dan matematika.

    5. Bergabung dengan Kelompok Belajar

    Bergabung dalam kelompok belajar bisa meningkatkan motivasi dan memperluas pemahaman. Kamu juga bisa berdiskusi soal-soal sulit dan mendapatkan perspektif baru.

    6. Gunakan Sumber Belajar Online

    Manfaatkan platform belajar online seperti Zenius, Ruangguru, YouTube, atau blog edukasi seperti blog ini. Banyak konten gratis berkualitas yang bisa kamu akses kapan saja.

    7. Jaga Kesehatan dan Mental

    Belajar keras penting, tapi jangan sampai mengorbankan kesehatan. Tidur cukup, makan bergizi, dan sempatkan olahraga ringan. Selain itu, jaga motivasi dan hindari stres berlebihan.

    Penutup: Belajar SNBT adalah proses panjang yang memerlukan strategi dan konsistensi. Dengan menerapkan tips di atas, kamu bisa lebih siap menghadapi SNBT dan memperbesar peluangmu lolos ke PTN impian. Tetap semangat dan jangan menyerah!

    - Tidak ada komentar:
    Label: ,

    Sabtu, 07 Juni 2025

    Pejalan Kaki Akan Ditilang: Langkah Kontroversial Demi Keselamatan?

    Dalam waktu dekat, muncul wacana bahwa pejalan kaki yang melanggar aturan lalu lintas akan dikenai tilang. Rencana ini menuai beragam respons dari masyarakat. Di satu sisi, kebijakan ini dinilai dapat meningkatkan kesadaran dan kedisiplinan di jalan raya. Namun di sisi lain, muncul kekhawatiran bahwa pejalan kaki yang selama ini dianggap sebagai kelompok paling rentan justru akan semakin dibebani. Apakah penilangan terhadap pejalan kaki adalah langkah bijak?

    Pejalan kaki sering kali terabaikan dalam sistem transportasi di Indonesia. Banyak trotoar yang rusak, terhalang pedagang kaki lima, atau bahkan tidak tersedia sama sekali. Dalam kondisi seperti ini, tidak jarang pejalan kaki terpaksa berjalan di badan jalan dan kadang melintasi jalan tidak pada tempatnya. Namun, ketika hal ini dianggap pelanggaran dan akan ditindak melalui tilang, muncul pertanyaan: sudah siapkah infrastruktur kita untuk menertibkan pejalan kaki?

    Dari sisi hukum, menertibkan semua pengguna jalan termasuk pejalan kaki bukanlah hal yang salah. UU No. 22 Tahun 2009 tentang Lalu Lintas dan Angkutan Jalan sebenarnya sudah mengatur bahwa semua pengguna jalan wajib mematuhi rambu dan tata tertib. Artinya, pejalan kaki yang menyebrang sembarangan, tidak menggunakan zebra cross, atau mengabaikan lampu lalu lintas memang bisa dianggap melanggar hukum.

    Namun demikian, perlu diluruskan bahwa sistem tilang elektronik berbasis kamera ETLE (Electronic Traffic Law Enforcement) tidak berlaku untuk pejalan kaki. Hal ini ditegaskan oleh Direktur Lalu Lintas Polda Metro Jaya, Kombes Komarudin, bahwa meskipun pejalan kaki juga termasuk pengguna jalan, sistem ETLE hanya dapat menangkap pelanggaran yang dilakukan oleh pengendara kendaraan bermotor. Dengan kata lain, jika ada pelanggaran oleh pejalan kaki, penindakan tetap harus dilakukan secara manual oleh petugas di lapangan.

    Dalam pelaksanaannya, perlu pendekatan yang lebih humanis dan bertahap. Tilang seharusnya menjadi langkah terakhir setelah edukasi, penyediaan fasilitas yang layak, dan penegakan yang adil terhadap semua pengguna jalan — termasuk pengendara motor yang sering kali melanggar hak pejalan kaki. Jika pemerintah ingin menilang pejalan kaki, maka pemerintah juga wajib memastikan trotoar aman, bersih, dan dapat diakses.

    Lebih jauh, penerapan aturan ini juga bisa menjadi momentum penting untuk memperbaiki budaya berlalu lintas di Indonesia. Selama ini, hukum lebih banyak diarahkan kepada pengendara kendaraan bermotor, sementara pejalan kaki seolah tidak memiliki peran. Padahal, tertib lalu lintas adalah tanggung jawab bersama.

    Pada akhirnya, penilangan terhadap pejalan kaki bisa menjadi langkah positif jika dilakukan dengan adil, edukatif, dan didukung fasilitas memadai. Jangan sampai hukum tajam ke bawah dan tumpul ke atas. Yang lebih penting dari sekadar menilang adalah menciptakan lingkungan jalan raya yang aman, nyaman, dan berkeadilan bagi semua.

    - Tidak ada komentar:
    Label:

    Jumat, 06 Juni 2025

    C. Fungsi Invers

    Ilustrasi 1
    Jika kita memasukkan suatu kata dalam bahasa Inggris maka dapat dicari terjemahannya dalam bahasa Indonesia, begitu pula sebaliknya. Jadi proses mesin penerjemah bekerja secara bolak-balik.


    Hal yang bekerja secara berkebalikan di kehidupan sehari-hari dalam bahasa matematika dapat disebut sebagai fungsi invers.

    Secara konsep, menentukan fungsi invers dari fungsi asal dengan diagram panah memang lebih intuitif; dengan membalik arah panah. Namun, sering kali dijumpai bahwa fungsi asal dituliskan dalam bentuk persamaan matematis. Dalam kasus ini, cara untuk menemukan persamaan fungsi invers dari fungsi asal dapat dilakukan dengan cara berikut:
    1. Ubah fungsi f(x) menjadi bentuk y.
    2. Ubah persamaan menjadi x = . . .
    3. Ubah variabel x menjadi f-1(y) (x = f-1(y))
    4. Ganti variabel y menjadi x pada f-1(y) sehingga diperoleh rumus fungsi invers f-1(x)
    Ilustrasi 2
    Penjelasan:
    Perhatikan gambar di atas:
    f(x) = x - 2
    y = x - 2 (ubah f(x) menjadi y)
    x = y + 2 (ubah persamaan menjadi x = . . .)
    f-1(y) = y + 2 (ubah x menjadi f-1(y)
    f-1(x) = x + 2 (ganti variabel x pada f-1(y) dan dapatlah rumus fungsi invers f-1(x))

    Cakil (Cara Kilat):
  • f(x) = ax + b → f-1(x) = \( \frac{x-b}{a} \)
  • \(f(x)= \frac{ax+b}{c} \) → f-1(x) =\( \frac{cx-b}{a} \)
  • \(f(x)= \frac{ax+b}{cx+d} \) → f-1(x) =\( \frac{-dx+b}{cx-a} \)
  • f(x) = axn + b → f-1(x) = \( ^n\sqrt\frac{x-b}{a} \)
  • f(x) = alog cx → f-1(x) = \( \frac{a^x}{c} \)
  • f(x) = y → f-1(y) = x

    • Soal Pemanasan:
    1. Tentukan fungsi invers dari fungsi-fungsi berikut jika ada:
      2. a. f(x) = 2x + 5
      b. \(f(x)= \frac{2x-1}{6} \)
      c. \(f(x)= \frac{2x+3}{x-5} \)
      d. f(x) = \(^3\sqrt{x+2}\)
      e. \(f(x)= \frac{5^x}{7} \)
      Jawab:
      a. f-1(x) = \(\frac{x-5}{2} \)
      b. f-1(x) = \( \frac{6x+1}{2} \)
      c. f-1(x) = \( \frac{5x+3}{x-2} \)
      d. f-1(x) = x3 - 2
      e. f-1(x) = 5log 7x

    1. Fungsi Injektif, Surjektif dan Bijektif (INSURBI)
    Berdasarkan jenis relasinya, fungsi dibagi menjadi tiga jenis, perhatikan gambar dibawah ini!
    Jika A = Laki-laki dan B = Perempuan, maka:
  • Injektif: Fungsi satu-satu (Perempuan ada yang jomblo)
  • Surjektif: Fungsi Onto (Perempuan ada yang selingkuh)
  • Bijektif: Fungsi Korespondensi satu-satu (Semua setia)
    • Hanya fungsi bijektif saja yang dapat memiliki invers, karena setiap anggota di B terhubung tepat satu anggota di A.
    2. Sifat-sifat Fungsi Invers
  • (f o f-1)(x) = x
  • (f-1 o f)(x) = x
  • (f-1)-1(x) = f(x)
  • ((g o f)-1(x) = (f-1 o g-1)(x)
  • (f o g)-1)(x) = (g-1 o f-1)(x)
  • ((f o g) o g-1)(x) = ((g-1 o (g o f)(x) = f(x)
  • (f-1 o (f o g)(x) = ((g o f) o f-1)(x) = g(x)
  • (f o g o h)-1)(x) = (h-1 o g-1 o f-1)(x)

    • Soal Pemanasan:
    1. Diberikan fungsi f : A → B yang didefinisikan oleh f(x) = 3x + 1, g(x) = 2x - 4, h(x) = x + 5. Tentukan:
      2. a. f-1(x), g-1(x) dan h-1(x)
      b. Buktikan bahwa (f o f-1)(x) = x
      c. Buktikan bahwa (f-1)-1(x) = f(x)
      d. Buktikan bahwa ((g o f)-1(x) = (f-1 o g-1)(x)
      Jawab:
      a. f-1(x) = \( \frac{x-1}{3} \), g-1(x) = \( \frac{x+4}{2} \), h-1(x) = x - 5
      b. (f o f-1)(x) = f(f-1(x))
        = f(\( \frac{x-1}{3} \))
        = 3(\( \frac{x-1}{3} \)) + 1
        = x - 1 + 1
        = x
      c. (f-1)-1(x) = (\( \frac{x-1}{3} \))-1
      Misalkan f-1(x) = y = \( \frac{x-1}{3} \) (ubah persamaan menjadi x = f(y) = ...)
        y = \( \frac{x-1}{3} \)
        3y = x - 1
        3y + 1 = x
        x = 3y + 1
        f(y) = 3y + 1
        f(x) = 3x + 1
      d. (g o f)-1(x) = (f-1 o g-1)(x)
      Mencari Nilai (g o f)-1(x)
      Langkah 1: Kita cari nilai (g o f)(x)
      (g o f)(x) = g(f(x))
        = g(3x + 1)
        = 2(3x + 1) - 4
        = 6x + 2 - 4
        = 6x - 2
      Langkah 2: Kita cari nilai (g o f)-1(x)
      (g o f)-1(x) = \( \frac{x+2}{6} \) (pake cara kilat)
      Komposisikan (f-1 o g-1)(x)
      (f-1 o g-1)(x) = f-1(g-1(x))
        = f-1(\( \frac{x+4}{2} \))
        =\(\frac{\left(\frac{x+4}{2}) - 1\right)}{3}\)
        =\( \frac{x+4-2}{6} \) (pembilang dan penyebut dikalikan 2)
        = \( \frac{x+2}{6} \)
      Jadi (g o f)-1(x) = (f-1 o g-1)(x) = \( \frac{x+2}{6}\)

    📥 Download LKPD Kembali ke Menu Sebelumnya
    - Tidak ada komentar:
    Label: ,

    Senin, 02 Juni 2025

    B. Komposisi Fungsi

    1. Penjumlahan dan Pengurangan Fungsi

    Penjumlahan dua atau lebih fungsi dapat menghasilkan fungsi baru.
    Jika f(x) dan g(x) merupakan dua fungsi dengan domain masing-masing Df dan Dg. Maka penjumlahan (f + g) (x) = f (x) + g(x) menghasilkan fungsi yang baru dengan domain Df ∩ Df.
    Jika f(x) dan g(x) merupakan dua fungsi dengan domain masing-masing Df dan Dg. Maka penjumlahan (f - g) (x) = f (x) - g(x) menghasilkan fungsi yang baru dengan domain Df ∩ Df.

    2. Perkalian dan Pembagian Fungsi
    Jika f(x) dan g(x) merupakan dua fungsi dengan domain masing-masing Df dan Dg. Maka perkalian (f · g)(x) = f(x) · g(x) menghasilkan fungsi yang baru dengan domain Df dan Dg.
    Pembagian dua fungsi \( \frac{f}{g}(x) \) = \( \frac{f(x)}{g(x)} \) secara umum belum tentu menghasilkan fungsi. Supaya \( \frac{f}{g}\) menjadi sebuah fungsi, pembagi g tidak boleh memiliki nilai 0. Dengan kata lain, \( \frac{f}{g}\) adalah fungsi dengan domain (Df dan Dg) − {x| g(x) = 0}.

    Soal Pemanasan:
    1. Jika \(f(x) =\sqrt{x+3}\) dan g(x) = x + 3
      2. a. Tentukan f(x) + g(x)
      b. Tentukan domain dan range dari f(x) + g(x)
      Jawab:
      a. f(x) + g(x) = \(\sqrt{x+3}\) + x + 3
      b. Df : {x| x ≥ -3, x ∈ R}
        Dg : {x| x ∈ R}
        Df+g = Df ∩ Dg = {x| x ≥ -3, x ∈ R}
        Rf+g = {x| x ∈ R}
    2. Jika f(x) = x2 + 2 dan g(x) = 2x - 5
      a. Tentukan f(x) - g(x)
      b. Tentukan domain dan range dari f(x) - g(x)
      Jawab:
      a. f(x) - g(x) = x2 + 2 - (2x - 5)
        = x2 + 2 - 2x + 5)
        = x2 - 2x + 7
      b. Df : {x| x ∈ R}
        Dg : {x| x ∈ R}
        Df-g = Df ∩ Dg = {x| x ∈ R}
        Nilai minimum fungsi kuadrat y = x2 - 2x + 7 yaitu:
        ymin = \(- \frac{b^2-4ac}{4a} \)
        ymin = \(- \frac{(-2)^2-4(1)(7)}{4a} \)
        ymin = \(- \frac{-24}{4(1)} \)
        ymin = \(- \frac{-24}{4} \)
        ymin = 6
    3. Jika f(x) = 3x2 + 2x dan g(x) = 2x - 1
      a. Tentukan f(x) . g(x)
      b. Tentukan \( \frac{f(x)}{g(x)} \)
    Jawab:
    a. f(x) . g(x) = (3x2 + 2x) . (2x - 1)
      = 6x2 - 3x2 + 4x2 - 2x
      = 6x2 + x2 - 2x
    b. \( \frac{f(x)}{g(x)} \) = \( \frac{3x^2+x^2}{2x-1} \)

    3. Komposisi Fungsi
    Komposisi Fungsi adalah fungsi yang melibatkan lebih dari satu fungsi atau penggabungan dari beberapa fungsi. Ketika ada suatu fungsi, kemudian dilanjutkan dengan fungsi lainnya maka akan membentuk suatu fungsi baru.
    Operasi fungsi komposisi disimbolkan dengan "o" (dibaca: bundaran).

    a. Jenis Komposisi Fungsi
    Komposisi Dua Fungsi
  • (f o g)(x) = f(g(x))
  • (g o f)(x) = g(f(x))
    •  Komposisi Tiga Fungsi
  • (f o g o h)(x) = f(g(h(x))
    •  Komposisi Lebih dari Tiga Fungsi
  • (f o g o h o i)(x) = f(g(h(i(x)))
    •

    Ilustrasi 1
    Jika Padi = f(x) dan Beras = g(x) merupakan dua fungsi, maka komposisi keduanya dinyatakan dengan (g o f)(x) = g(f(x)) = Nasi

    Ilustrasi 2
    Jika Mie Instan = f(x) dan Telur = g(x) merupakan dua fungsi, maka
  • (f o g)(x) = f(g(x)) → akan menjadi mie telur
  • (g o f)(x) = g(f(x)) → akan menjadi omlet

    • Komposisi dua fungsi dapat dipahami melalui diagram panah berikut:
    b. Sifat-sifat Komposisi Fungsi
    1) Tidak Komutatif → (f o g)(x) ≠ (g o f(x)
    Contoh:
    Jika f(x) = x + 2 dan g(x) = 2x, maka (f o g)(x) = 2x + 2, sedangkan (g o f)(x) = 2x + 4.
    2) Asosiatif → (f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)
    Contoh:
    Jika f(x) = x + 1, g(x) = 2x, dan h(x) = 3, maka (f o (g o h))(x) = (f o (2*3))(x) = (f o 6)(x) = 6 + 1 = 7, dan ((f o g) o h)(x) = ((x + 1) o 2x)(3) = ((3 + 1) o 6)(3) = 7.
    3) Identitas → (f o I)(x) = (I o f)(x)
    Contoh:
    Jika f(x) = 2x + 1, maka (f o I)(x) = (2x + 1) o x = 2x + 1, dan (I o f)(x) = x o (2x + 1) = 2x + 1.

    Soal Pemanasan:
    1. Jika \(f(x)= \frac{1}{4x^2+1} \) dan g(x) = 2x2 + 1, tentukan:
      a. (f o g)(x)
      b. domain dan range (f o g)(x)
      c.(g o f)(x)
      d. domain dan range (g o f)(x)
      Jawab:
      a. (f o g)(x) = f(g(x))
        = f(2x2 + 1)
        =\( \frac{1}{2(2x^2+1)+1} \)
        =\( \frac{1}{4x^2+2+1} \)
        =\( \frac{1}{4x^2+3} \)
      b. domain dan range (f o g)(x) adalah semua bilangan riil.
      c. (g o f)(x) = g(f(x))
        = g(\( \frac{1}{2x+1} \))
        = 2(\( \frac{1}{2x+1})^2 \) + 1
        = \( \frac{2}{4x^2+4x+1} \) + 1
      d. domain dari (g o f)(x) adalah semua bilangan riil kecuali \( \frac{1}{2} \), rangenya ialah semua bilangan riil.
    2. Diketahui f(x) = 2x + 1 dan (f o g)(x) = 10x + 7. Tentukan g(x)!
      3. Jawab:
      (f o g)(x) = 10x + 7
      f(g(x)) = 10x + 7
      2.g(x) + 1 = 10x + 7
      2.g(x) = 10x + 7 - 1
      2.g(x) = 10x + 6
      g(x) = \( \frac{10x + 6}{2} \)
      g(x) = 5x + 3
    3. Diketahui g(x) = 5x + 3 dan (f o g)(x) = 10x + 7. Tentukan f(x)!
      4. Jawab:
      (f o g)(x) = 10x + 7
      f(g(x)) = 10x + 7
      f(5x + 3) = 10x + 7
      Misalkan 5x + 3 = a, maka \(x= \frac{a-3}{5} \) (ubah persamaan menjadi x = ...)
      f(a) = 10(\( \frac{a-3}{5} \)) + 7 (substitusi x dengan \( \frac{a-3}{5} \))
      f(a) = 2(a - 3) + 7
      f(a) = 2a - 6 + 7
      f(a) = 2a + 1
      f(x) = 2x + 1

    📥 Download LKPD Kembali ke Menu Sebelumnya
    - Tidak ada komentar:
    Label: ,

    A. Relasi dan Fungsi

    1. Relasi
    Relasi dapat dipahami dalam banyak hal di kehidupan sehari-hari. Konsep relasi menjelaskan hubungan antara anggota-anggota dari dua himpunan. Contohnya, setiap pemain bola di tim Manchester United memiliki nomor punggung masing-masing.

    Hubungan ini biasanya dijelaskan dalam bentuk himpunan pasangan berurut, diagram panah, dan diagram Kartesius.

    a. Himpunan Pasangan Berurut
    MU = {(Sancho, 25), (Rashford, 10), (Shaw, 23)}

    b. Diagram Panah
    Diagram Panah Fungsi (Oval) Himpunan A Himpunan B Sancho Rashford Shaw 25 10 23 c. Diagram Kartesius
    Diagram Kartesius Nama (x) Nomor Punggung (y) Sancho Rashford Shaw 10 23 25

    2. Fungsi

    Fungsi merupakan suatu relasi yang menghubungkan satu anggota dari suatu himpunan tepat ke satu anggota di himpunan yang lain. Fungsi adalah relasi yang lebih spesifik. Fungsi biasa dinyatakan dalam bentuk f(x) = y , di mana f merupakan fungsi, x merupakan variabel masukan (input) dan y adalah variabel keluaran output. Kita dapat memahami konsep ini dengan membayangkan fungsi sebagai mesin seperti pada gambar diatas.

    a. Fungsi dan Bukan Fungsi
    Secara ilustratif, hubungan antara fungsi dan relasi dapat dipahami melalui gambar berikut:

    1) Perhatikan pasangan berurut berikut! Ada yang menunjukkan relasi yang berupa fungsi dan ada yang menunjukkan relasi yang bukan fungsi.
    i) {(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)} → Relasi : Fungsi
    ii) {(1,3),(1,4),(2,3),(3,4)} → Bukan Fungsi
    iii) {(2,3),(3,3),(4,3),(5,3)} → Relasi : Fungsi
    iv) {(5,1),(6,2),(7,3),(5,4)} → Bukan Fungsi

    2) Perhatikan diagram panah berikut! Ada yang menunjukkan relasi yang berupa fungsi dan ada yang menunjukkan relasi yang bukan fungsi.

    (i) Relasi : Fungsi
    (ii) Relasi : Fungsi
    (iii) Relasi : Bukan Fungsi
    (iv) Relasi : Bukan Fungsi

    3) Perhatikan diagram kartesius berikut! Ada yang menunjukkan relasi yang berupa fungsi dan ada yang menunjukkan relasi yang bukan fungsi.
    i) Relasi : Fungsi
    (ii) Relasi : Bukan Fungsi
    (iii) Relasi : Fungsi
    (iv) Relasi : Bukan Fungsi

    Untuk menentukan diagram kartesius tersebut apakah relasi : fungsi atau bukan , kita dapat menggunakan Tes Garis Vertikal. Caranya yaitu cukup menggeser garis vertikal dari kiri ke kanan (atau sebaliknya) dan melewati garis relasi. Apabila garis vertikal tersebut memotong grafik di dua atau lebih titik yang berbeda, maka relasi tersebut bukanlah fungsi.
    Kesimpulan :
    Jadi, ada relasi yang merupakan fungsi dan ada juga relasi yang bukan merupakan fungsi. Setiap fungsi pasti relasi, setiap relasi belum tentu fungsi

    3. Domain, Kodoain dan Range
    Kalian sudah belajar domain, kodomain dan range di SMP. Kalian memperdalam pemahaman ini dengan mengeksplorasi masalah berikut:

    Sebuah pabrik pembuatan keripik tempe memiliki mesin yang beroperasi dengan mengubah 1 potong tempe bulat menjadi 6 keripik tempe. Pembuatan tempe dapat saja menghasilkan \( \frac{1}{2} \) potong keripik tempe atau bentuk pecahan lainnya. Menurut aturan, mesin membuang keripik yang tidak utuh ini (tidak lulus quality control) dan mengeluarkan keripik utuh. Mesin keripik tempe hanya beroperasi apabila ada minimal 200 potong tempe yang dimasukkan dan berhenti beroperasi apabila lebih dari 600 potong tempe dimasukkan. Asumsikan mesin produksi keripik tempe adalah sebagai fungsi linear, lengkapi tabel produksi tempe berikut:

    Dari tabel di atas, kita peroleh :
  • Himpunan yang menyatakan masukan dari mesin fungsi keripik tempe disebut sebagai domain (daerah asal). Dapat dinyatakan dengan Df = {x| 200 ≤ x ≤ 600, x ∈ R}.
  • Himpunan yang menyatakan semua kemungkinan keripik tempe yang dihasilkan disebut sebagai kodomain (daerah kawan). Dapat dinyatakan dengan Rf = {y| 1200 ≤ y ≤ 3600, x ∈ R}.
  • Himpunan yang menyatakan keluaran dari mesin fungsi keripik tempe disebut sebagai range (daerah hasil). Dapat dinyatakan dengan Rf = {x| 200 ≤ x ≤ 600, x ∈ Z+}.
    • Kesimpulan :
    Jadi, domain adalah daerah asal (input/ variabel x), kodomain adalah daerah kawan (variabel y) dan range adalah daerah hasil ((output/ variabel y).
    atau pengertian tersebut dapat dilihat secara utuh pada gambar di bawah ini.

    📥 Download LKPD Kembali ke Menu Sebelumnya
    - Tidak ada komentar:
    Label: ,

    Minggu, 01 Juni 2025

    Dropdown dengan Deskripsi

    - Tidak ada komentar:

    Sabtu, 31 Mei 2025

    D. Pembuktian Pernyataan Matematis Keterbagian

    Pernyataan "a habis dibagi b" ekuivalen dengan :
  • a kelipatan b.
  • b faktor dari a.
  • b membagi a.

  • Jika p habis dibagi a dan q habis dibagi a, maka (p + q) juga habis dibagi a.
  • Misalkan 4 habis dibagi 2 dan 6 habis dibagi 2, maka (4 + 6) juga habis dibagi 2.

    • CONTOH :

    Buktikan bahwa 11n - 6 habis dibagi 5 berlaku untuk semua bilangan asli!
    Langkah 1
    11n - 6 (habis dibagi 5)
    substitusi n = 1
    111 - 6 = 5 (habis dibagi 5)

    Langkah 2
    11n - 6 (habis dibagi 5)
    substitusi n = k (asumsikan benar)
    11k - 6 = 5p (habis dibagi 5; p bilangan asli)
    11k = 5p + 6

    Langkah 3
    11n - 6 (habis dibagi 5)
    substitusi n = k + 1
    = 11k+1 - 6 (habis dibagi 5)
    = 11k . 111 - 6
    = 11k . 111 - 6
    = (5p + 6) . 111 - 6
    = 55p + 66 - 6
    = 55p + 60
    = 5(11p + 12) (habis dibagi 5) Terbukti!
    Kesimpulan :
    Jadi, teerbukti bahwa 11n - 6 habis dibagi 5 berlaku untuk semua bilangan asli!
    Kembali ke Menu Sebelumnya
    - Tidak ada komentar:
    Label: ,

    Jumat, 30 Mei 2025

    C. Pembuktian Pernyataan Matematis Ketidaksamaan

    Sifat Transitif

  • a > b > c → a > c atau a < b < c → a < c.

    • Prinsip Ketidaksamaan

  • a > b dan c > 0 → ac > bc atau a < b dan c > 0 → ac < bc.
  • a > b → a + c > b + c atau a < b → a + c < b + c.

    • CONTOH :

    Buktikan bahwa 4n ≤ 2n untuk semua bilangan asli n ≥ 5!
    Langkah 1
    4n < 2n ; n ≥ 5
     substitusi n = 5
    4(5) < 25
    20 < 32 (benar)

    Langkah 2
    4n < 2n
    substitusi n = k
    4k < 2k (asumsikan benar)

    Langkah 3
    4n < 2n
    substitusi n = k + 1
    4(k + 1) < 2k+1
    4k + 4 < 2k + 21
    lihat ruas kiri
    4k + 4 < 2k + 4 (berdasarkan sifat transitif a < b → a + c < b + c)
    4k + 4 < 2k + 4 < 2k + 21 (berdasarkan sifat transitif a < b < c → a < c)
    4k + 4 < 2k + 21
    4(k + 1) < 2k+1 (terbukti)
    Kesimpulan :
    Jadi, 4n ≤ 2n terbukti benar untuk semua bilangan asli n ≥ 5! Kembali ke Menu Sebelumnya
    - Tidak ada komentar:
    Label: ,

    Kamis, 29 Mei 2025

    B. Pembuktian Pernyataan Matematis Berupa Barisan

    CONTOH

    Misalkan kita akan menjumlahkan bilangan ganjil sebagai berikut :
    1 + 3 + 5 + ... + 2n - 1 = n2
    Buktikan bahwa untuk jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n2
    Langkah 1
    1 + 3 + 5 + ... + 2n - 1 = n2
     substitusi n = 1
    2n - 1 = n2
    2(1) - 1 = 12
    1 = 1 (benar)

    Langkah 2
    Asumsikan benar untuk n = k
    substitusi n = k
    1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2 (benar)

    Langkah 3
    substitusi n = k + 1
    1 + 3 + 5 + ... + 2k - 1 + 2(k + 1) - 1 = (k + 1)2
    1 + 3 + 5 + ... + 2k - 1 + 2(k + 1) - 1 = (k + 1)2
    k2+ 2(k + 1) - 1 = (k + 1)2
    k2 + 2k + 2 - 1 = (k + 1)2
    k2 + 2k + 1 = (k + 1)2
    (k + 1)2 = (k + 1)2 (terbukti)
    Kesimpulan :
    Jadi, 1 + 3 + 5 + ... + 2n - 1 = n2 benar untuk jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n2 karena memenuhi kedua langkah pembuktian. Kembali ke Menu Sebelumnya
    - Tidak ada komentar:
    Label: ,

    Rabu, 28 Mei 2025

    “Matematika adalah bahasa di mana Tuhan menulis alam semesta.” – Galileo Galilei
    “Segala sesuatu harus dibuat sesederhana mungkin, tetapi tidak lebih sederhana.” – Albert Einstein
    “Tanpa matematika, tidak ada yang bisa kamu lakukan. Segalanya di sekitarmu adalah matematika.” – Shakuntala Devi
    “Logika akan membawamu dari A ke B. Imajinasi akan membawamu ke mana saja.” – Albert Einstein
    - Tidak ada komentar:
    Label: ,

    Selasa, 27 Mei 2025

    A. Pengantar Induksi Matematika

    Perlu kita ingat bahwa yang namanya belajar akan menjadi maksimal apabila kita menguasai konsepnya. Nah salah satu cara melatih pemahaman konsep suatu materi adalah dengan membuktikan rumus. Singkatnya sih, dengan membuktikan rumus, kita dituntut untuk memahami beberapa konsep sekaligus.

    Nah kali ini kita akan belajar memahami salah satu cara membuktikan rumus, yaitu dengan Induksi Matematika.

    Induksi Matematika hanya bisa digunakan untuk setiap model matematika berupa persamaan atau pertidaksamaan yang variabel acaknya merupakan Bilangan Asli. Artinya kamu tidak bisa menggunakan Induksi Matematika pada model matematika baik berupa persamaan atau pertidaksamaan yang variabel acaknya BUKAN Bilangan Asli.

    Apa sih Induksi Matematika itu?

    Induksi Matematika merupakan salah satu cara pembuktian rumus atau pernyataan matematika, atau lebih tepatnya metode pembuktian terhadap suatu pernyataan apakah pernyataan tersebut berlaku untuk setiap kasus.

    ILUSTRASI

    Misalkan kita akan menjumlahkan 200 bilangan asli yang pertama berikut :
    1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 199 + 200 = ...
    Untuk mempermudah perhitungan, perhatikan pola berikut :
    Jumlah satu suku S1 = 1 = \( \frac{1 . 2}{2} \)
    Jumlah dua suku S2 = 1 + 2 = 3 = \( \frac{2 . 3}{2} \)
    Jumlah tiga suku S3 = 1 + 2 + 3 = 6 = \( \frac{3 . 4}{2} \)
    Jumlah empat suku S4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 = \( \frac{4 . 5}{2} \)

    Dari informasi di atas, diketahui bahwa untuk menghitung jumlah deret tersebut untuk n bilangan asli berapapun ternyata sudah ada rumusnya. Jadi, kita ngga perlu repot-repot menjumlahkan satu per satu seperti diatas. Tinggal kita masukkan saja nilai n ke dalam rumus tersebut.

    BAGAIMANA RUMUSNYA?

    Untuk deret di atas, rumusnya adalah sebagai berikut :
    Sn = \( \frac{n (n + 1)}{2} \)
    Bisa juga ditulis seperti ini :
    1 + 2 + 3 + ... + n = \( \frac{n (n + 1)}{2} \)

    “Sebagai matematikawan yang baik, sebaiknya kita harus curiga, tahu dari mana kalau rumus itu benar? Tahu dari mana bahwa rumus itu berlaku untuk nilai n bilangan asli? Bagaimana Membuktikannya?

    Dalam matematika, proses dari pengembangan pola sampai pengambilan kesimpulan dari ilustrasi tadi, tidak dapat dianggap sebagai bukti untuk rumus
    Sn = \( \frac{n (n + 1)}{2} \)
    Oleh karena itu, kita memerlukan suatu bukti formal bahwa kesimpulan tersebut benar untuk setiap bilangan asli n.
    “Itulah sebabnya mengapa kita harus mempelajari INDUKSI MATEMATIKA"

    B. Konsep Induksi Matematika

    Dengan menggunakan Induksi Matematika, kita bisa membuktikan rumus Sn tadi tanpa perlu menghitung satu persatu. Caranya Easy Buaaangeeet, kita hanya butuh melakukan verifikasi tiga langkah yaitu sebagai berikut :
    1. Tunjukkan bahwa rumus Sn benar untuk n = 1 atau S1 benar.
    2. Asumsikan bahwa rumus Sn benar untuk n = k, maka :
    3. Tunjukkan bahwa rumus Sn juga benar untuk n = k + 1, Sk benar → Sk+1 juga benar.
    Dua langkah itu bisa membuktikan bahwa Sn BENAR untuk semua n bilangan asli?
    Loh kok bisa?
    Kamu pasti tahu, atau pernah main domino kan ya?
    Apa hubungan antara Domino dan Induksi Matematika?
    Coba kita lihat ketiga langkah itu satu per satu ya...

    Langkah 1
    Buktikan bahwa Sn benar untuk n = 1!
    Langkah pertama ini gampang banget, tinggal kita gantikan n dengan 1 ke dalam persamaan lalu kita hitung deretnya.
    1 + 2 + 3 + ... + n = \( \frac{n (n + 1)}{2} \)
    1 + 2 + 3 + ... + n = \( \frac{n (n + 1)}{2} \)
     substitusi n = 1
    n = \( \frac{n (n + 1)}{2} \)
    1 = \( \frac{1 (1 + 1)}{2} \)
    1 = \( \frac{1 (2)}{2} \)
    1 = \( \frac{2}{2} \)
    1 = 1 (benar)

    Langkah 2
    Asumsikan bahwa n = k adalah benar!
    substitusi n = k
    1 + 2 + 3 + ... + n = \( \frac{n (n + 1)}{2} \)

    1 + 2 + 3 + ... + k = \( \frac{k (k + 1)}{2} \) (benar)

    Langkah 3
    Buktikan bahwa n = k + 1 benar!
    substitusi n = k + 1
    1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \( \frac{(k + 1) ((k + 1) + 1)}{2} \)

    1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \( \frac{(k + 1) ((k + 1) + 1)}{2} \)

    \( \frac{k (k + 1)}{2} \)+ (k + 1) = \( \frac{(k + 1) ((k + 1) + 1)}{2} \)

    \( \frac{k (k + 1)+ 2(k + 1)}{2} \) = \( \frac{(k + 1) (k + 2)}{2} \)

    \( \frac{k^2 + k + 2k + 2}{2} \) = \( \frac{(k + 1) (k + 2)}{2} \)

    \( \frac{k^2 + 3k + 2}{2} \) = \( \frac{(k + 1) (k + 2)}{2} \)

    \( \frac{(k + 1) (k + 2)}{2} \) = \( \frac{(k + 1) (k + 2)}{2} \) (terbukti)

    Kembali ke Menu Sebelumnya
    - Tidak ada komentar:
    Label: ,
    Limit Fungsi di Suatu Titik

    A. Limit Fungsi di Suatu Titik

    Limit fungsi f(x) di suatu titik x = a adalah nilai yang didekati oleh f(x) untuk x mendekati a dan x ≠ a. Jika x mendekati a maka f(x) mendekati L, ditulis:

    limx→a f(x) = L

    Ilustrasi Grafik Limit

    Perhatikan grafik berikut untuk memahami bagaimana limit bekerja saat x mendekati 2:

    Grafik Limit Fungsi Aljabar

    Langkah-langkah menentukan limit fungsi:

    1. Faktorkan pembilang dan penyebut dari f(x), lalu sederhanakan.
    2. Jika belum bisa disederhanakan, kalikan f(x) dengan sekawan dari penyebut, lalu sederhanakan.
    Contoh:
    Tentukan:
    limx→3 (x² − 9) / (x − 3)
    Faktorkan:
    = limx→3 (x − 3)(x + 3) / (x − 3)
    Sederhanakan:
    = limx→3 x + 3
    Substitusi :
    = 3 + 3 = 6

    B. Sifat-Sifat Limit Fungsi

    Misalkan k bilangan bulat positif, f dan g fungsi yang memiliki limit di x = c, maka:

    1. limx→c k = k
    2. limx→c x = c
    3. limx→c k·f(x) = k·limx→c f(x)
    4. limx→c [f(x) + g(x)] = limx→c f(x) + limx→c g(x)
    5. limx→c [f(x) − g(x)] = limx→c f(x) − limx→c g(x)
    6. limx→c [f(x) · g(x)] = limx→c f(x) · limx→c g(x)
    7. limx→c f(x)/g(x) = limx→c f(x) / limx→c g(x), dengan limx→c g(x) ≠ 0
    8. limx→c [f(x)]n = [limx→c f(x)]n
    9. limx→c n √f(x) = n √limx→c f(x)

    Video Penjelasan Singkat

    Simak video berikut untuk memahami konsep limit lebih lanjut:

    Kembali ke Menu Sebelumnya
    - Tidak ada komentar:
    Label: ,
    Kumpulan Rumus Bangun Ruang 3D

    Kumpulan Rumus Bangun Ruang 3D

    Ilustrasi Kubus

    Kubus

    Luas = 6 × r × r
    Volume = r × r × r
    r: panjang rusuk
    Ilustrasi Balok

    Balok

    Luas = 2 × (p×l + p×t + l×t)
    Volume = p × l × t
    p: panjang, l: lebar, t: tinggi
    Ilustrasi Prisma

    Prisma

    Luas = 2 × La + Ka × t
    Volume = La × t
    La: luas alas, Ka: keliling alas, t: tinggi
    Ilustrasi Limas

    Limas

    Luas = La + Total Luas Sisi Miring
    Volume = ⅓ × La × t
    a: alas, La: luas alas, t: tinggi
    Ilustrasi Tabung

    Tabung

    Luas = 2 × π × r × (t + r)
    Volume = π × r × r × t
    r: jari-jari, t: tinggi
    Ilustrasi Kerucut

    Kerucut

    Luas = π × r × (r + s)
    Volume = ⅓ × π × r × r × t
    r: jari-jari, s: garis pelukis, t: tinggi
    Ilustrasi Bola

    Bola

    Luas = 4 × π × r × r
    Volume = 4/3 × π × r × r × r
    r: jari-jari
    Dimensi Tiga Kembali ke Menu Sebelumnya
    - Tidak ada komentar:
    Label: ,
    Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang pada Bangun Ruang

    Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang pada Bangun Ruang

    1. Kedudukan Titik terhadap Garis

    a. Titik Terletak pada Garis
    Titik A dikatakan terletak pada garis g jika garis g melalui titik A.

    Titik A pada garis g

    b. Titik Terletak di Luar Garis
    Titik A dikatakan terletak di luar garis g jika garis g tidak melalui titik A.

    Titik A di luar garis g
    2. Kedudukan Titik terhadap Bidang

    a. Titik Terletak pada Bidang
    Titik P dikatakan terletak pada bidang α jika bidang α melalui titik P.

    Titik P pada bidang alpha

    b. Titik Terletak di Luar Bidang
    Titik P dikatakan terletak di luar bidang α jika bidang α tidak melalui titik P.

    Titik P di luar bidang alpha
    3. Kedudukan Dua Garis
    Titik A di luar garis g

    a. Berpotongan
    Garis g dan h yang terletak pada sebuah bidang dikatakan berpotongan jika kedua garis tersebut memiliki tepat satu titik persekutuan.

    b. Berimpit
    Jika setiap titik pada garis g terletak pada garis h maka dikatakan g berimpit dengan garis h. Dengan kata lain, dua garis tersebut memiliki paling sedikit dua titik persekutuan (A dan B).

    c. Sejajar
    Garis g dan h yang terletak pada sebuah bidang dikatakan sejajar (ditulis : g // h jika kedua garis tersebut tidak memiliki titik persekutuan.

    d. Bersilangan
    Jika garis g dan h tidak memiliki titik persekutuan, tidak sejajar dan tidak terletak pada satu bidang maka garis g dan h dikatakan bersilangan.

    4. Kedudukan Garis terhadap Bidang
    Titik A di luar garis g

    a. Berimpit
    Suatu garis dikatakan berimpit dengan bidang jika setiap titik pada garis juga terletak pada bidang.

    b. Sejajar
    Garis dikatakan sejajar dengan bidang α karena garis dan bidang tersebut tidak memiliki titik persekutuan.

    c. Berpotongan
    Garis dan bidang dikatakan berpotongan jika memiliki tepat satu titik persekutuan.

    5. Kedudukan Dua Bidang
    Titik A di luar garis g

    a. Berimpit
    Dua bidang disebut berimpit apabila semua titik dari kedua bidang tersebut berimpit.

    b. Sejajar
    Dua bidang disebut sejajar apabila semua titik dan garis-garis pada salah satu bidang tidak memiliki titik persekutuan dengan bidang lainnya.

    c. Berpotongan
    Dua bidang disebut berpotongan apabila memiliki satu garis potong.

    Kembali ke Menu Sebelumnya
    - Tidak ada komentar:
    Label: ,
    David Hilbert - Matematikawan Jenius dari Jerman

    David Hilbert: Matematikawan Jenius dari Jerman yang Mengubah Wajah Matematika

    David Hilbert (1862–1943) adalah salah satu matematikawan terbesar dalam sejarah, yang kontribusinya telah membentuk banyak cabang dalam matematika modern. Lahir di Königsberg, Jerman (sekarang Kaliningrad, Rusia), Hilbert dikenal karena pemikirannya yang mendalam, pendekatannya yang sistematis, dan ambisinya untuk menciptakan dasar yang kokoh bagi seluruh bidang matematika.

    Awal Kehidupan dan Pendidikan

    David Hilbert lahir pada 23 Januari 1862. Ia menempuh pendidikan tinggi di Universitas Königsberg, tempat ia menunjukkan minat luar biasa pada matematika. Di sana, ia berinteraksi dengan matematikawan ternama lainnya, seperti Ferdinand von Lindemann, yang membimbingnya selama studi doktoralnya.

    Kontribusi dalam Matematika

    Hilbert memberikan kontribusi penting dalam berbagai bidang matematika, termasuk:

    1. Teori Invariansi dan Aritmetika

    Pada awal kariernya, Hilbert menulis karya besar tentang teori invarian. Ia berhasil menunjukkan bahwa teori invarian dapat diselesaikan dengan metode sistematis, yang kemudian dikenal sebagai Teorema Dasar Hilbert.

    2. Geometri

    Pada tahun 1899, Hilbert menerbitkan Grundlagen der Geometrie (Dasar-Dasar Geometri), di mana ia menyusun 20 aksioma yang lebih lengkap dan logis untuk mendefinisikan ruang geometri.

    3. Teori Bilangan dan Analisis

    Hilbert juga berkontribusi dalam teori bilangan dan analisis matematika, termasuk dalam persamaan diferensial dan integral, yang kelak melahirkan cabang analisis fungsional.

    4. Ruang Hilbert (Hilbert Space)

    Konsep ruang Hilbert menjadi fundamental dalam fisika kuantum dan analisis fungsional. Ini adalah salah satu pencapaian penting Hilbert dalam membangun jembatan antara matematika dan fisika.

    5. 23 Masalah Hilbert

    Pada tahun 1900, dalam Kongres Matematika Internasional di Paris, Hilbert mempresentasikan 23 masalah terbuka dalam matematika. Masalah-masalah ini menjadi pendorong utama bagi perkembangan matematika sepanjang abad ke-20.

    Filsafat Matematika dan Program Hilbert

    Hilbert mengembangkan Program Hilbert, yakni usaha untuk membuktikan bahwa semua matematika dapat dibangun dari sistem aksioma yang konsisten dan logis. Namun, program ini terguncang setelah Kurt Gödel membuktikan teorema ketidaklengkapan-nya pada tahun 1931, yang menyatakan bahwa tidak semua kebenaran matematika dapat dibuktikan dalam sistem formal.

    Warisan dan Pengaruh

    Meski tidak semua tujuannya tercapai, warisan Hilbert tetap besar. Pendekatan aksiomatik dan formal yang ia usung kini menjadi standar dalam penyusunan teori matematika.

    “Wir müssen wissen — wir werden wissen.”
    “Kita harus tahu — kita akan tahu.”

    Akhir Hayat

    David Hilbert meninggal pada 14 Februari 1943 di Göttingen, Jerman. Meskipun masa tuanya diwarnai oleh gejolak politik dan perang, pemikiran dan kontribusinya tetap hidup hingga kini dalam dunia matematika dan sains.

    Kesimpulan

    David Hilbert adalah tokoh sentral dalam transformasi matematika modern. Dengan kontribusinya dalam geometri, logika, dan teori bilangan, ia membuktikan bahwa matematika bukan sekadar angka, tetapi merupakan dasar pemikiran manusia yang rasional dan mendalam.

    - Tidak ada komentar:
    Label: ,
    Langganan: Postingan (Atom)

    A. Lingkaran dan Busur Lingkaran 1. Lingkaran Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar yang b...